Zentrum einer p-Gruppe nicht trivial

06.10.2009, 19:01	KarlKarlson	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrum einer p-Gruppe nicht trivial Hi, ich möchte zeigen, dass das Zentrum einer p-Gruppe nicht trivial ist. Dazu wollte ich die Klassengleichung heranziehen. Sei $\begin{eqnarray} \|G\|=p^n \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} x_1,\dots,x_k \end{eqnarray}$ Repräsentanten der Konjugationsklassen von G. Dann gilt mit der Klassengleichung $\begin{eqnarray} p^n = \sum_{i=1}^k [G:C_G(x_i)] \end{eqnarray}$ Aber $\begin{eqnarray} {e} \end{eqnarray}$ ist eine eigene Bahn. Sei $\begin{eqnarray} e = x_1 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} [G:C_G(x_1)] = [G:G]=1 \end{eqnarray}$ , also insbes. nicht durch p teilbar. Aber die rechte Seite der Klassengleichung muss ja schon durch p teilbar sein. Hier hänge ich leider. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weitermachen könnte? Irgendwie müsste ich jetzt quasi noch ein Element $\begin{eqnarray} e \neq x_j \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} C_G(x_j)=G \end{eqnarray}$ , dann läge dieses ja im Zentrum... (ich hoffe, das geht mit meinem Ansatz)
06.10.2009, 19:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} p^n = \sum_{i=1}^k [G:C_G(x_i)] = \|Z(G)\| + \sum_{\stackrel{i=1}{x_i\not\in Z(G)}}^k [G:C_G(x_i)] \end{eqnarray}$ Da in der Summe nie $\begin{eqnarray} C_G(x_i) = G \end{eqnarray}$ gilt, sind dies alle echte Untergruppen und damit jeder der Summanden durch p teilbar. Was folgt daraus für \|Z(G)\|?
06.10.2009, 21:07	KarlKarlson	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|Z(G)\| \end{eqnarray}$ ist als Untergruppe von G entweder 1 oder durch p teilbar. 1 geht wegen der Teilbarkeit der rechten Seite durch p nicht, also ist das Zentrum nicht trivial.
06.10.2009, 21:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »

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