Konvergenzradius bestimmen

06.10.2009, 22:29	Fritze	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius bestimmen Hallo, ich habe die folgenden Aufgaben gelöst bzw. versucht sie zu lösen und wüsste gerne ob sie richtig sind: 1) $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty ~\frac{1}{ln(n)} x^{n} \end{eqnarray}$ Ich würde sagen, dass der Konvergenzradius gleich 1 ist, da \| 1/ ln(n) \|^(1/n) = 1/(\| ln(n) \|^(1/n)) -> für n-> \infty 2) $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{n^7}{n!} x^{n} \end{eqnarray}$ Hier komme ich leider weder mit der Wurzel- noch mit der Quotientenregel wirklich weiter. Beim Wurzelkriterium: Kürze ich erst ein n raus oder nehme ich direkt die n-te Wurzel vom Zähler und vom Nenner? Für mich wäre es das Plausibelste zu sagen, dass der Exponent 1/n -> 0 für n->\infty und darum ist der Konvergenzradius gleich 1 3) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~(\sum_{k=1}^n~1/k)x^{n} \end{eqnarray}$ Da die harmonische Reihe \sum_{k=1}^n~1/k divergiert, ist der Konvergenzradius gleich 0 4) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n^n}{n!} x^{n} \end{eqnarray}$ Hier habe ich das gleiche Problem wie bei der 2), nur dass im Zähler-wenn ich das Wurzelkritierium anwende- n rauskommt und nicht n^(7/n). Vielen Dank für eure Antworten! edit: Irgendwie scheine ich was falsch gemacht zu haben. Es wäre nett wenn ihr mir sagen könntet wie ich die Formeln korrekt einfühe!
06.10.2009, 22:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) Ja der Konvergenzradius ist 1. Es ist $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{1} < \sqrt[n]{\ln(n)} < \sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ . Die beiden äußeren Folgen konvergieren gegen 1, also auch die Mittlere. Bei der 2) bietet sich das Quotientenkriterium an. Bei der 3) schreibst du Blödsinn. Die Folge $\begin{eqnarray} a_n = n \end{eqnarray}$ divergiert auch. Trotzdem hat die Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty nx^n \end{eqnarray}$ nicht den Konvergenzradius 0. Bei der 4) bietet sich auch das Quotientenkriterium an. Außer du kennst zufällig den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \end{eqnarray}$ . Dann wäre das Wurzelkriterium die schnellere Variante.
07.10.2009, 10:52	Fritze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank! Die 1 ist absolut einleuchtend, aber irgendwie bin ich da nicht drauf gekommen. Bei der 2) bekomme ich mit dem Quotientenkriterium \frac{\frac{(n+1)^7}{(n+1)!} }{\frac{n^7}{n!}} = \frac{(n+1)^6}{n^7} Da der Nenner schneller konvergiert (höhere Potenz), konvergiert der Therm gegen 0 und somit ist der Konvergenzradius \infty Zur 3) Was mich ein wenig verwirrt, ist die Summe in der Summe. Bei der normalen Grenzwertberechnung ignoriere ich diese ja einfach und schaue mir das höchste Glied an. Wenn ich das hier mache, habe ich 1/n raus. n ist aber gerade das erste Glied in der äußeren Folge. Schicke ich n->00 und wende das Wurzelkriterium an, so bekomme ich 1 raus. Irgendwie scheint mir das aber nicht so richtig zu sein... 4) Das Quotientenkriterium angewandt ergibt \frac{\frac{(n+1)^(n+1)}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}} = (\frac{n+1}{n})^n = (1+1/n)^n und das konvergiert gegen e.
07.10.2009, 11:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 2) hast du jetzt richtig gelöst. Die 4) auch. Musst halt noch den Kehrwert nehmen für den Konvergenzradius. Nochmal zur 3) Lass dich von der doppelten Summe nicht verwirren. Wenn man $\begin{eqnarray} a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ setzt, so hat man $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_nx^n \end{eqnarray}$ . Nun ist offensichtlich $\begin{eqnarray} 1 \leq a_n \leq n \end{eqnarray}$ . Womit wir beim selben Resultat angekommen wären, wie bei der 1)...
07.10.2009, 11:28	Fritze	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank, jetzt hab ich das verstanden!!!!

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