Verständnisfrage zu einer Rechnung

06.10.2009, 23:19	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage zu einer Rechnung Moin Leute, ich verstehe bei einer Aufgabe einen Rechenweg nicht. Das ganze kommt aus Folgen und Reihen... Ich soll eine Reihe auf Konvergenz prüfen. Hier greift das Quotientenkriterium. Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray}$ Quotientenkriterium: $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{(n+1)}}{a_n} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\frac{(n+1)!n^n}{(n+1)^{n+1}n!}\| \end{eqnarray}$ Kann ich nachvollziehen. Jetzt kommt aber $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)n^n}{(n+1)(n+1)} \end{eqnarray}$ Ich verstehe dabei den Nenner nicht. Wo ist auf einmal die Potenz n+1 hin und das n! Hängt das irgendwie mit den Betragsstrichen zusammen? Denn eine Potenz im Nenner bedeutet nichts Anderes als eine negative Potenz im Zähler...
06.10.2009, 23:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgesehen von einem Schreibfehler im Nenner (der zweite Faktor ist in Wirklichkeit eine Hochzahl): Siehe dir doch mal den Teil-Bruch $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!}{n!} \end{eqnarray}$ genauer an! Was kann man da machen? mY+
07.10.2009, 08:45	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Mythos, nun, man kann es kürzen... $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!}{n!} =\frac{n+1}{1} \end{eqnarray}$ Übrigens, danke für die Verschieberei, ich muss mich erst umgewöhnen....
07.10.2009, 21:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu einer Rechnung Richtig. Nun, dann kommt es ja bereits zu dem gewünschten Resultat. Wie gesagt, im Nenner bestand noch der Fehler, dass das zweite (n+1) in den Exponenten gehört: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!n^n}{(n+1)^{n+1}n!}=\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{(n+1)}}=\frac{n^n}{(n+1)^n}=\left(\frac n {n+1}\right)^n \end{eqnarray}$ Oder? mY+
08.10.2009, 21:43	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu einer Rechnung Hi Mythos, ok, somit wird dann $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!n^n}{(n+1)^{n+1}n!}=\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{(n+1)}}=\frac{n^n}{(n+1)^n}=\left(\frac%20n%20{n+1}\right)^n \end{eqnarray}$ klar. Letzte Frage noch: $\begin{eqnarray} \frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray}$ es blieb im Nenner durch das Kürzen $\begin{eqnarray} 1^{(n+1)} \end{eqnarray}$ übrig. Wie kommst du jetzt auf $\begin{eqnarray} (n+1)^n \end{eqnarray}$
08.10.2009, 23:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{(n+1)}{(n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1)}{(n+1)^n \cdot (n+1)}= \ldots \end{eqnarray}$ Der Nenner ist zuerst zu faktorisieren, dann erst wird gekürzt. Ich hoffe, du hast nicht wirklich gemeint, dass es erlaubt ist, so kriminell zu kürzen , wie du das angedeutet hast, denn $\begin{eqnarray} \frac a {a^n} \neq 1^n \ \text{!!} \end{eqnarray}$ mY+
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09.10.2009, 15:53	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh... Mir hat das Faktorisieren gefehlt. Du hast natürlich gleich erkannt, dass ich kriminelles Kürzen niemals machen würde In dem Sinne ein schönes Wochenende.

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