Maximaler Normalteiler

07.10.2009, 09:54	Foxi	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximaler Normalteiler Wir haben die Aussage, dass N genau dann ein maximaler Normalteiler der Gruppe G ist, wenn $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ einfach ist wie folgt motiviert: "Die Normalteiler von $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ entsprechen bijektiv den Normalteilern M von G mit $\begin{eqnarray} M \geq N \end{eqnarray}$ ." Mit dieser Motivation ist klar - wenn N nun maximal in G ist, dann ist $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ einfach - und umgekehrt. Aber warum gilt diese Bijektion überhaupt?
07.10.2009, 10:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ die Reduktiosabbildung so sind die Abbildungen $\begin{eqnarray} M \mapsto \pi(M)\\\pi^{-1}(\overline M) \leftarrow\joinrel\mapstochar \overline M \end{eqnarray}$ eben bijektiv und invers zu einander. Das kann man nachrechnen, wo genau liegt dein Problem?
07.10.2009, 11:10	Foxi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \pi: G \to G/N, g \mapsto gN \end{eqnarray}$ , und das Urbild eines Normalteilers $\begin{eqnarray} A \unlhd G/N \end{eqnarray}$ ist auch normal in G, d.h. $\begin{eqnarray} N \leq \pi^{-1}(A):= M \unlhd G \end{eqnarray}$ ?
07.10.2009, 11:13	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, volle Urbilder von Normalteilern sind wieder Normalteiler
07.10.2009, 11:14	Foxi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke! Keine Ahnung, was ich mir vorhin dabei dachte ...
09.10.2009, 16:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal noch ein Beweis dazu: $\begin{eqnarray} f : G\to H \end{eqnarray}$ sei ein Gruppenhomomorphismus. $\begin{eqnarray} N \triangleleft H \end{eqnarray}$ . Bezeichne $\begin{eqnarray} \tilde N := f^{-1}(N) \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist also dass $\begin{eqnarray} \tilde N \end{eqnarray}$ normal ist. Dies rechnet man direkt nach: $\begin{eqnarray} \forall g: f(g\tilde N g^{-1}) = f(g)f(\tilde N)f(g^{-1}) = f(g)Nf(g)^{-1} = N \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \forall g: g\tilde Ng^{-1} \subseteq \tilde N \end{eqnarray}$ womit die Behauptung bewiesen ist.
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