Analytische Geometrie - Seite 2

10.10.2009, 23:52

mYthos

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Das ist, soweit ich sehe, i. O. (in Ordnung)

mY+

11.10.2009, 14:27

raptor01

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Beispiel 14d:
$\begin{eqnarray*} T=\left\{(r,s,t): r^2+s^2+t^2\leq4\right\} \end{eqnarray*}$

Ich habe im Koordinatensystem einmal die wichtigen Schnittpunkte eingezeichnet. Aufgabenstellung ist ja, die Menge T zu zeigen. Wenn nun $\begin{eqnarray*} r^2\leq4 \end{eqnarray*}$ sein soll, muss dann nur die Menge 0 bis 4 gekennzeichnet werden oder geht das dann auch bis unendlich negativ. Letzteres wäre logischer.
Falls $\begin{eqnarray*} r^2+s^2+t^2\leq4 \end{eqnarray*}$ bis unendlich negativ gehen, ist meine Menge eh eigentlich der ganze Würfel. In meiner Skizze "beginnen" die Achsen erst bei +4 und gehen bis -4. Sogesehen ist dann der ganze Würfel meine Menge.

11.10.2009, 16:38

raptor01

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Bei Beispiel 15a/b bin ich irgendwie komplett ratlos.

Let G be the graph of the equation $\begin{eqnarray*} x^2 + 4y^2 + 9z^2 = 36 \end{eqnarray*}$ .
“G“ hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+4y^2+9z^2=36 \end{eqnarray*}$

Beispiel 15a:
Sketch the graphs of the curves sliced from G by the coordinate planes x = 0 ,
y = 0 , and z = 0 .
Zeichne die Kurven, welche bei den Koordinaten x=0, y=0 und z=0 „G“ schneiden

Beispiel 15b:
Sketch G. (This graph is called an ellipsoid.)
Zeichne „G“ (diese Form nennt sich Ellipsoid)

Das ist die vorletzte Aufgabe, die zu lösen ist – Aufgabe 16a/b ist fast gleich, nur mit anderen Zahlen.

11.10.2009, 18:19

mYthos

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Ich denke, du hast falsch übersetzt. 'Coordinate planes' sind die Koordinatenebenen. z = 0 z.B. meint also die x-y - Ebene.

Damit wird es (im genannten Beispiel) leicht: Setze in die Gleichung von G einfach für z = 0 ein ...

mY+

11.10.2009, 18:58

raptor01

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Zitat:

Original von mYthos
Ich denke, du hast falsch übersetzt. 'Coordinate planes' sind die Koordinatenebenen. z = 0 z.B. meint also die x-y - Ebene.

Damit wird es (im genannten Beispiel) leicht: Setze in die Gleichung von G einfach für z = 0 ein ...

mY+

x=0 meint die y-z - Ebene
y=0 meint die x-z - Ebene
z=0 meint die x-y - Ebene

Wenn ich in die Gleichung für x=0, y=0 und z=0 einsetze:
$\begin{eqnarray*} G: x^2*0+4y^2*0+9z^2*0=36 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G: 0=36 \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass ich mich bei letzterem von der Lösung gerade wegbewege - 0=36 ergibt ja nicht wirklich einen Sinn.

Ist so etwas gemeint? Abgesehen davon, dass es höchstwahrscheinlich auch noch falsch eingezeichnet ist, hat es irgendwie absolut keinen Zusammenhang mit G.

11.10.2009, 23:33

mYthos

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Doch nicht alle drei Variablen auf einmal! Sondern hintereinander - es sind ja drei getrennte Fälle:

1: x = 0, das einsetzen, es kommt eine Gleichung in y und z

2: y = 0, das einsetzen, es kommt eine Gleichung in x und z

3: z = 0, das einsetzen, es kommt eine Gleichung in x und y

In allen Fällen erhalten wir die Gleichung einer ebenen Kurve. Es ist jedesmal der gleiche Kurventyp. Warum? Wie nennt man diese Kurvenform?

mY+

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12.10.2009, 17:44

raptor01

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1:
$\begin{eqnarray*} 4y²+9z²=36/-4y² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9z²=36-4y²/:9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z²={\frac{36-4y²}{9}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{\frac{36-4y²}{9}} \end{eqnarray*}$

2:
$\begin{eqnarray*} x²+9z²=36/-9z² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²=36-9z² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{36-9z²} \end{eqnarray*}$

3:
$\begin{eqnarray*} x²+4y²=36/-x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4y²=36-x²/:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y²={\frac{36-x²}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\frac{36-x²}{4}} \end{eqnarray*}$

Doch was fange ich nun mit den Ergebnissen an? Soll ich diese in ein 2D-Koordinatensystem einzeichnen?
Also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{\frac{36-4y²}{9}} \end{eqnarray*}$ zeichne ich in ein 2D-Koordinatensystem mit den Achsen x und y ein. ....
Doch irgendwie habe ich Probleme diese einzuzeichnen. verwirrt

verwirrt

Jedenfalls vielen Dank für die Hilfe! Freude

Freude

12.10.2009, 18:04

mYthos

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Das sind alles Ellipsen in Mittelpunkts- und Hauptlage (Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystemes, Achsen in den Koordinatenachsen). Deren Gleichung (geeignet zur Ermittlung der Achsen) ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

[Hier, bei 1., erhalten wir die Halbachsenlängen a = 6, b = 3]

In der x,z - und y,z - Ebene gilt dies analog.

mY+

12.10.2009, 22:07

raptor01

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Weder bei Ausrechnen des Ergebnisses von 1. (also $\begin{eqnarray*} z^2=\sqrt{\frac{36-4y^2}{9} } \end{eqnarray*}$ ) noch durch Einsetzen der Werte in die von dir gegebene Formel, wobei mir hier bei 1. $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ fehlt, komme ich auf a=6, b=3 - ich komme irgendwie nicht einmal auf schöne Zahlen ohne Komma.

12.10.2009, 22:16

Mathespezialschüler

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Deine Lösung zu 14c stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind restringiert durch $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist beliebig. Es kommt also ein unendlich langer Kreiszylinder raus, dessen Radius Eins ist und dessen Achse gerade die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse ist.

12.10.2009, 22:24

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
[Hier, bei 1., erhalten wir die Halbachsenlängen a = 6, b = 3]
...

Gemeint war natürlich die Lösung bei 3. Entschuldige bitte das Versehen.

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

12.10.2009, 22:30

raptor01

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Zitat:

Original von mYthos
Gemeint war natürlich die Lösung bei 3. Entschuldige bitte das Versehen.

Ah, da hätte ich durch ein bisschen nachrechnen selber auch draufkommen können. Jetzt ist jedenfalls alles klar - die Werte a=6 und b=3 erhalte ich ebenfalls. Danke!

12.10.2009, 23:11

raptor01

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Bei 2. bekomme ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{36}=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{9}=3 \end{eqnarray*}$ .
Doch wie erkenne ich, welcher Wert, welche Achse ist? a=6? b=3?

Bei 1. bekomme ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{9}}=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{4}}=3 \end{eqnarray*}$ .

Bei 3. bekomme ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{4}}=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{1}}=6 \end{eqnarray*}$ .

12.10.2009, 23:30

mYthos

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Ausser bei 3. stimmt sonst nichts, also weder 1. noch 2. ist richtig. Rechne nochmals nach.

Hinweis: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{9}} \end{eqnarray*}$ ist nicht 4.

mY+

12.10.2009, 23:42

raptor01

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Zitat:

Original von mYthos
Ausser bei 3. stimmt sonst nichts, also weder 1. noch 2. ist richtig. Rechne nochmals nach.

Hinweis: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{9}} \end{eqnarray*}$ ist nicht 4.

mY+

Stimmt - $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{36}{9}} \end{eqnarray*}$ ist 2.
So habe ich das verstanden:

13.10.2009, 00:37

mYthos

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Der Vorgang bei der Ellipsengleichung ist eigentlich recht einfach:
Bringe die Gleichung auf .. = 1. In den Nennern sind die Quadrate der Halbachsen direkt abzulesen.

1. Noch immer falsch (richtig wäre 2, 3)
2. Sollte nun kein Problem mehr bereiten

mY+

13.10.2009, 13:47

raptor01

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So, jetzt habe ich es aber hoffentlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

1. x=0
$\begin{eqnarray*} 4y^2+9z^2=36/:36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

a=3; b=2

2. y=0
$\begin{eqnarray*} x^2+9z^2=36/:36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{36} + \frac{z^2}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

a=6; b=2

3. z=0
$\begin{eqnarray*} x^2+4y^2=36/:36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1 \end{eqnarray*}$

a=6; b=3

13.10.2009, 20:00

mYthos

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Wie heisst es so schön: Was lange währt, wird endlich gut smile

smile

mY+

13.10.2009, 23:22

raptor01

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Zitat:

Original von mYthos
Wie heisst es so schön: Was lange währt, wird endlich gut smile

smile

Stimmt - das jetzt erworbene Wissen hält denke ich (fast) ewig - zumindest wenn ich es nocheinmal gewissenhaft durchgehe. Die Anwendung kommt am Montag bei der (noch kleinen) Leistungsüberprüfung.
Nochmals vielen Dank für deine Mühe!

14.10.2009, 20:49

raptor01

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Ganz kann ich den Thread von meiner Seite leider noch nicht ruhen lassen. unglücklich

unglücklich

Da man in Mathematik teilweise auch durch das Stellen von Fragen weiter kommt bzw. mein Lektor die Meinung vertritt, dass man nur durch persönliches Interesse und Engagement, sowie Hinterfragen von Aufgaben sich in Mathematik weiter verbessern kann (also indem man selbst Wege sucht - sei es durch das Stellen von Fragen Aufgaben zu lösen), habe ich noch ein paar Fragen.
Natürlich sind es nicht irgendwelche "sinnfreien Fragen" wie "Das verstehe ich alles nicht" - sie sind schon präzise und sprechen einige ganz bestimmte Gebiete in meiner Aufgabe an - sodass deren Beantwortung hoffentlich nicht all zu viele Umstände bereitet.

Beispiel 16 wurde in der Vorlesung behandelt (ich habe die Mitschrift der Vorlesung eingescant, damit ihr einen Überblick über den Stoff habt - hoffentlich sind dadurch die Fragen verständlicher).

Hier meine Fragen:
a) 1.Schnitt mit x-y - Ebene: Ich habe die 1. Geradengleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{12}} - \frac{y}{\sqrt{2}}=0 \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichung aus der zwei Geraden werden: $\begin{eqnarray*} (\frac{x}{\sqrt{12}} - \frac{y}{2}) * (\frac{x}{\sqrt{12}} + \frac{y}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$

Woher weiß ich, dass dies eine Gerade ist und wie zeichnet man diese überhaupt ein. Gibt es da einen Trick? Okay, dass diese durch den Ursprung geht ist mir klar (ist auch im Dokument beschrieben), aber die Steigung "k" (in diesem Fall müsste sie 45° sein) ist mir nicht ganz klar. Wie zeichne ich diese ein - wie erkenne ich so etwas überhaupt. Mir ist da nur die Formel: "y = k * x + d" bekannt.
Warum setze ich die Gleichung eigentlich gleich 0? Also "=0" statt "=1"? Wird erst durch diesen Prozess eine Gerade definiert?

b) In diesem Beispiel habe ich 3 Schnitte. Ich muss äquivalent zu Beispiel 15 x,y und z nullsetzen.
Doch warum wird in diesem Beispiel nach jedem nullsetzen x=0, y=0 sowie z=0 noch zusätzlich nocheinmal jede Achse null gesetzt? Also bei x=0 habe ich noch y=0 und z=0. Bei y=0 habe ich noch x=0 und z=0, ... Ich habe dann insgesamt 9mal 0 gesetzt. Warum gleich 9mal - welchen Sinn hat dies - ich gewinne hier irgendwie keine zusätzliche Information draus. Eventuell dient dies der Ermittlung der Geradengleichung?

c) Wie weiß man, dass $\begin{eqnarray*} x^2 - 3y^2 = 12 \end{eqnarray*}$ eine Hyperbel ist? Ist das einfach die Erfahrung, die einem das sagt - einige meiner Mitschüler erkennen das auf den ersten Blick. Können mir die Gleichungen, welche die Oberfläche verschiedener Formen (Dattel, Cube, Torus, ...) zeigen hier weiterhelfen. Falls einem diese gängig sind - hat man dann den Blick dafür, um zu erkennen um welchen Körper es sich bei welcher Gleichung handelt? (siehe http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html)

d) Ist die Aufstellung einer Geradengleichung bei einer Form wie der Hyperbel zwingend erforderlich? Wahrscheinlich schon, sonst könnte ich diese ja nicht zeichnen - die Geraden sind quasi meine Hilfsachsen damit ich die Hyperbel erst einzeichnen kann - sie haben sonst keine andere Bedeutung und sind auch sonst nicht essenziell.

17.10.2009, 21:42

raptor01

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Ich nehme die Kuriositäten der letzten drei gestellten Fragen einmal als gegeben hin. Ich werde versuchen diese soweit es möglich ist anzuwenden - ganz verstehe ich sie aber nicht - wobei ich mir aber auch im klaren bin, dass meine Fragen einen großen Teil der Mathematik umfassen und nicht so von heute auf morgen zu erlernen sind - daher würde es wahrscheinlich den Rahmen dieses Threads sprengen.

Um beim Threadtitel zu bleiben:
17) $\begin{eqnarray*} S= {(x_1, x_2, x_3):= | x_1 | + | x_2 | + | x_3 | = 1}. \end{eqnarray*}$
a) Sketch the coordinate plane slices of S. / Zeichne die Schnittpunkte der Koordinatenebenen von S.
b) Sketch the set S. / Zeichne die Gleichung/Menge S.

Kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ durch den Ursprung gehen?

17.10.2009, 22:30

mYthos

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x1, x2, x3 sind offensichtlich Koordinaten eines Punktes. Und die können schlecht durch den Ursprung gehen. Durch den Ursprung können Geraden oder Ebenen gehen.

Die Ebene x1 + x2 + x3 = 1 geht nicht durch den Ursprung. Die Behandlung der Gleichung wird durch die Absolutbeträge (falls diese tatsächlich als solche zu verstehen sind) ziemlich erschwert (-> Fallunterscheidungen!). Zudem sollten auch von dir eigene Ideen, Problembeschreibungen oder Ansätze vorhanden sein.

Und richtig: Deine vorhergehende Frage überschreitet tatsächlich die Gegebenheiten in diesem Forum. Deshalb hat auch bisher niemand geantwortet, das muss man mal real sehen.

Ich möchte dich auch bitten, der Übersichtlichkeit wegen nicht -zig Fragen/Aufgaben in einem einzigen Diskussionsfaden zu stellen, sondern vielmehr für jedes Thema auch einen einzelnen Thread zu eröffnen. Ansonsten würde sich die Moderation veranlasst sehen, den überlangen Faden entsprechend zu teilen - schnipp -schnapp Big Laugh

Big Laugh

mY+

18.10.2009, 14:54

raptor01

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Kann es sein, dass ich hier ebenfalls nur 0 setzen muss?
Also $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} | x_2 | + | x_3 | = 1 \end{eqnarray*}$
...

Doch wie zeichne ich dies nun. Mir sagen die Werte $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ absolut nichts. Ich kann mir darunter nichts vorstellen.

18.10.2009, 17:25

raptor01

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Ist es möglich, dass dieses Beispiel so simpel und primitiv lösbar ist?
Trotzdem kann ich keine eindeutige Form erkennen, wenn ich alle 3 Koordinatenebenen aufeinander lege.
Soll ich für das nächste Bsp. jetzt extra einen Thread eröffnen?

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