symmetrische Gruppen

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mützenlisa Auf diesen Beitrag antworten »
symmetrische Gruppen
hallo zusammen!

also..die Aufgabenstellung lautet:

man zeige, dass die Funktionen f = 1/x und g = (x-1)/x eine Gruppe von Funktionen erzeugen, die zur symmetrischen Gruppe S3 isomorph ist, wenn man als Verknüpfung die Zusammensetzung von Funktionen verwendet.

ich habe die Aufgabenstellung nicht ganz verstanden, und hab keine ahnung, an welchem zipfel ich die sache aufrollen muss...

bedeutet die verknüpfung der gegebenen funktionen, dass ich f°g nehme..
dies eine verknüpfung von teilmengen beschreibt und dann eine permutationsgruppe entsteht?

ich hab ein völliges chaos.. :/

sorry, dass ich keinen ansatz liefern kann! ich hoffe, jemand kann den stein ins rollen bringen, der mir da vor den augen klebt!! smile

vielen dank im voraus!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge aller Abbildungen ist eine Gruppe unter der Verknüpfung von Abbildungen. Deine beiden "Funktionen" (deine Schreibweise ist sehr unsauber) sind Elemente dieser Gruppe und erzeugen dort eine Untergruppe. Du sollst zeigen, dass diese Untergruppe isomorph zur ist.

Verknüpfung bedeutet in diesem Fall, dass die Gruppenverknüpfung die Komposition von Abbildungen sein soll, d.h. die Verknüpfung von mit ist .

Um die Aufgabe zu bewältigen, solltest du zunächst wissen, wie die charakterisiert ist und dann spezielle Funktionen ausrechnen, z.B.

.
mützenlisa Auf diesen Beitrag antworten »

sorry für die unsaubere schreibweise..
ich hab mich erst auf dem Forum registriert und grad die "Anleitung" zur Formeldarstellung etc. gelesen - ich werd mir ab jetzt Mühe geben!

okay - danke..

sorry..wenn ich mich jetzt wirklich dumm stelle.. aber ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr..
wie möchte ich die symmetrische Gruppe charakterisieren ohne weitere Angaben, ausser, dass sie zu einer erzeugten Gruppe von Funktionen isomorph ist?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte "mathematisch unsauber", nicht im optischen Sinne!

Die symmetrische Gruppe kann man bis auf Isomorphie eindeutig dadurch charakterisieren, dass sie durch zwei Elemente erzeugt ist mit und .
mützenlisa Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dem Optischen musste auch mal noch gesagt sein! hehe
und die Aufgabe habe ich von unserem Dozenten so übernommen. wie auch immer..

die Charakterisierung der Gruppe ist ja völlig klar. Vielen Dank für deinen Anstoss! ich werde mich jetzt noch einmal dahinter machen..
auf jeden Fall weiss ich jetzt wo ansetzten!

vielen lieben Dank dir !!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt für dieses Beispiel auch einen überraschend elementaren Lösungsweg, nur ist der außerordentlich "tricky" und von daher nicht unbedingt zu empfehlen...

Man muss dazu "nur" sehen, dass die Einschränkungen von f auf g auf {-1,1/2,2} wegen


sogar Permutationen auf {-1,1/2,2} sind, welche f und g als gebrochene lineare Funktionen vollkommen festlegen!

Man darf somit alle Rechnungen statt mit f und g selbst mit deren Einsschränkungen f|{-1,1/2,2} und g|{-1,1/2,2} durchführen, womit der Rest dann wohl klar ist...
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Schöner Ansatz! smile
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