Residuensatz

25.09.2006, 19:42

pfnuesel

Residuensatz

Hallo

Ich möchte ein Integral mit dem Residuensatz berechnen. Das Integral lautet:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx \end{eqnarray*}$

Nun integriere ich folgendermassen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-R}^{R}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx + \int_{R}^{R+ik}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx + \int_{R+ik}^{-R+ik}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx + \int_{-R+ik}^{-R}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx \end{eqnarray*}$

Danach muss natürlich noch $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen. Nach dem Residuensatz muss das Ergebnis ja $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Kann ich jetzt so argumentieren: Das zweite und das vierte Integral verschwinden, da $\begin{eqnarray*} x=const. \end{eqnarray*}$ und deshalb $\begin{eqnarray*} dx=0 \end{eqnarray*}$ . Ist das korrekt?

Vielen Dank für eure Hilfe.

25.09.2006, 21:47

xrt-Physik

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Das zweite und das vierte Integral müsste verschwinden.

25.09.2006, 21:53

pfnuesel

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Weil $\begin{eqnarray*} dx=0 \end{eqnarray*}$ ?

26.09.2006, 00:13

Abakus

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RE: Residuensatz

Zitat:

Original von pfnuesel
Nun integriere ich folgendermassen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-R}^{R}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx + \int_{R}^{R+ik}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx + \int_{R+ik}^{-R+ik}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx + \int_{-R+ik}^{-R}e^{-\frac{1}{2}(x+ik)^{2}}dx \end{eqnarray*}$

Danach muss natürlich noch $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen. Nach dem Residuensatz muss das Ergebnis ja $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Ja, nur musst du statt dem reellen x dann ein komplexes z als Variable betrachten, denn dein Integrand soll ja holomorph sein. Wirkliche Residuen kommen nicht vor, daher ist das eher der Cauchysche Integralsatz.

Oder versteh ich deinen Ansatz hier nicht ?

Grüße Abakus smile

26.09.2006, 20:07

pfnuesel

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RE: Residuensatz
Hallo Abakus

Danke für deine Antwort. Das mit dem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist mir kurz vor dem Einschlafen auch noch in den Sinn gekommen! Augenzwinkern

Aber ich verstehe nicht ganz, wieso das 2. und das 4. Integral verschwinden.

26.09.2006, 21:42

Abakus

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RE: Residuensatz

Zitat:

Original von pfnuesel
Aber ich verstehe nicht ganz, wieso das 2. und das 4. Integral verschwinden.

Das wäre erstmal zu berechnen. Auf den ersten Blick sieht das nicht so aus.

Also (wie wärs mit dem zweiten Integral ?):

$\begin{eqnarray*} \varphi : [0, 1] \rightarrow \mathbb C,~\varphi(t) := R + kt \cdot i \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} \varphi'(t) := k \cdot i \end{eqnarray*}$

Das wäre der Weg. Jetzt lässt sich das Integral hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_{R}^{R+ik} e^{-\frac{1}{2}(z+ik)^{2}}~dz = \int_{0}^{1} e^{-\frac{1}{2}(R + kt i+ ik)^{2}} \cdot ki~dt = ~? \end{eqnarray*}$

Du kannst ja mal versuchen, das weiter auszurechnen.

Grüße Abakus smile

26.09.2006, 23:18

pfnuesel

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RE: Residuensatz

Zitat:

Original von Abakus
Das wäre erstmal zu berechnen. Auf den ersten Blick sieht das nicht so aus.

Ahso! In meinem Script steht es eben nur so da, so dass ich dachte, das folgt aus einem bestimmten, leicht ersichtlichen Grund, den ich aber nicht sehe.

Bin bei Wegintegralen leider noch etwas wackelig auf den Beinen.

Aber jetzt ist klar wie der Hase läuft. Dank deiner Hilfe! Vielen Dank! smile

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