Lösungsmengen quadratischer Kongruenzen

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hilfe09 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmengen quadratischer Kongruenzen
Hallo,
ich schreibe morgen meine Zahlentheorie Klausur und komme gerade nicht weiter.
In einer Aufgabe soll man Lösungsmengen quadratischer Kongruenzen bestimmen.
Die Aufgaben:


a konnte ich noch lösen und zwar wie folgt:
, also gibt es eine Lösung und das ist x=7
nur, wie mach ich das bei b und c? Da kann ich ja das Argument mit dem ggT nicht nutzen oder?
so könnte ich das wohl umformen, aber da sieht man ja auch nicht wieviele und geschweige denn welche Lösungen es gibt.

Wäre euch sehr sehr dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet.
Hab Zahlentheorie vor einem Jahr gehört. da kamen solche Aufgaben aber nicht vor und nun muss ich morgen die Klausur schreiben und hab gestern erfahren, dass sowas auch drankommen kann.

Edit (mY+): Titel modifiziert. Dass morgen Klausur ist, ändert nichts!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zur b) fällt mir folgendes ein:



Da 7 eine Primzahl ist, ist dies weiterhin äquivalent zu:



Das sieht doch jetzt schon viel einfacher aus...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmengen quadratischer Kongruenzen (morgen Klausur)
Grundsätzlich kannst du diese Aufgaben lösen, in dem du ein vollständiges Restsystem einfach durchprobierst. Das ist bei kleinem Modulus oft auch die einfachste Methode. Bei b) und c) wären also i = 0, 1, ..., 6 zu testen. Hast du ein i gefunden, das die Kongruenz löst, dann sind alle x = 7*n + i mit n ganzzahlig auch Lösungen.

Bei a) wären die Zahlen i = 0 bis 15 zu testen. Man überlegt sich leicht, dass auch i = 0 bis 7 genügt und davon braucht man auch nur die ungeraden i.
Übrigens ist neben x = 7 auch x =1 eine Lösung.
hilfe09 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für eure Hilfen!
tmo deine Darstellung macht es in der Tat einfacher, da bekomm ich als Lösungen 3 und 6 heraus. Aber wie kann ich sehen, wieviele Lösungen es gibt?
Ich mein mein Satz oder was auch immer aus der Vorlesung sagte ja. dass die Anzahl der Lösungen dem ggT entspricht und demnach hätte a nur eine Lösung, wie Huggy aber sagt zwei.
@Huggy heißt das, dass ich immer wenn ich etwas mod m überprüfe, das ganze nur für die Zahlen 0 bis m-1 überorüfen muss?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hilfe09
@Huggy heißt das, dass ich immer wenn ich etwas mod m überprüfe, das ganze nur für die Zahlen 0 bis m-1 überorüfen muss?

Immer ist ein großes Wort. Ich sage mal vorsichtig, es gilt bei deinen Aufgaben und in vielen anderen Fällen. Einer konkreten Aufgabe sieht man meist leicht an, ob die Überprüfung eines vollständigen Restsystems genügt.
hilfe09 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht man das denn?
Und wie kann ich nun sehen wieviele Lösungen es gibt?
Ich hatte meins von hier de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29#L.C3.B6sbarkeit_von_Kongruenzen
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hilfe09
Wie sieht man das denn?

Es gilt

Zitat:
Original von hilfe09
Ich hatte meins von hier de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29#L.C3.B6sbarkeit_von_Kongruenzen

Dann lies nochmal genau was da steht und vergleiche das dann mit dem Titel deines Threads.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man eine Kongruenz



hat, setzt man mit n ganz und in sie ein. Dabei darf man alle durch m teilbaren Summanden weglassen. Wenn dann eine Kongruenz



übrigbleibt, in der n nicht mehr vorkommt, genügt es die Kongruenz mit den endlich vielen i zu testen. Jede Lösung für ein bestimmtes i ergibt eine unendliche Lösungsmenge



Und die Gesamtheit aller Lösungen ergibt sich so aus den endlich vielen Lösungen des vollständigen Restsystems .

Wenn ein Polynom in x ist, funktioniert dieses Verfahren.

Beispiel:



führt zu



und dann

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hilfe09
Ich mein mein Satz oder was auch immer aus der Vorlesung sagte ja. dass die Anzahl der Lösungen dem ggT entspricht und demnach hätte a nur eine Lösung, wie Huggy aber sagt zwei.

Nein, Huggy sagt vier - wenn du genau liest.

Von welchem "Satz aus der Vorlesung" redest du? Welcher auch immer das sein soll, du hast ihn offenbar total falsch angewandt.
hilfe09 Auf diesen Beitrag antworten »

ach mist Hammer das gilt ja nur für lineare kongruenzen. ok dann wirds etwas klarer.
man das kann was geben morgen traurig
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