Wert eines unendlichen Produkts

07.10.2009, 16:20

Gaast

Wert eines unendlichen Produkts

Hi,

bin bei ein paar Übungsaufgaben und fänd es sehr nett, wenn das jemand kurz kontrollieren könnte (alternative Lösungswege wären super!)

Man bestimme den Wert von diesem unendlichen Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=2}^\infty~\frac{n^3-1}{n^3+1} \end{eqnarray*}$

mein vorgehen:
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=2}^\infty~\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}\\<br /> =\prod_{n=2}^\infty~\frac{n-1}{n+1}\prod_{n=2}^\infty~\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}<br /> \end{eqnarray*}$
Der linke Ausdruck ist $\begin{eqnarray*} 1*2 \end{eqnarray*}$ , weil man den Nenner des n-ten Faktors mit dem Zähler des (n+2)-ten Faktors kürzen kann - übrig bleibt 1*2
Der rechte Ausdruck ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , weil man den Nenner des n-ten Faktors mit dem Zähler des (n-1)-ten Faktors kürzen kann [ $\begin{eqnarray*} n^2+n+1=(n+1)^2-(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ ] - übrig bleibt 1/3. Also wäre die Lösung 2/3, eine Probe (Produkt bis 5) konnte das näherungsweise bestätigen Big Laugh

Rechnung soweit in Ordnung?

07.10.2009, 19:42

Gaast

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könnte sich das jemand kurz anschauen? smile

ich bekomm bei wolfram-alpha nur das produkt von 0 bis unenlich hin (sinnlos, da der Faktor für 1 0 wird)

07.10.2009, 20:12

jester.

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Ich kann dir lediglich sagen, dass Maple dein Ergebnis bestätigt.

07.10.2009, 20:20

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Sauber aufgeschrieben könnte man zunächst die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=2}^m ~ \frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{m(m+1)+1}{m(m+1)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\geq 2 \end{eqnarray*}$

nachweisen, woraus der Wert des unendlichen Produkts dann mit dem Grenzübergang $\begin{eqnarray*} m\to \infty \end{eqnarray*}$ klar ist.

07.10.2009, 20:31

Gaast

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Sauber aufgeschrieben könnte man zunächst die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=2}^m ~ \frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{m(m+1)+1}{m(m+1)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\geq 2 \end{eqnarray*}$

nachweisen, woraus der Wert des unendlichen Produkts dann mit dem Grenzübergang $\begin{eqnarray*} m\to \infty \end{eqnarray*}$ klar ist.

Danke für den hinweis smile

07.10.2009, 20:56

Manus

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Du solltest generell vorsichtig sein, wenn du bei Produkten oder Summen, die bis unendlich gehen, aufteilst, das ist nämlich nur relativ begrenzt möglich und führt teilweise zu nicht ganz idealen Ergebnissen.

Sauber macht man es eben so, wie von Arthur oben beschrieben.

07.10.2009, 21:18

Gaast

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Zitat:

Original von Manus
Du solltest generell vorsichtig sein, wenn du bei Produkten oder Summen, die bis unendlich gehen, aufteilst, das ist nämlich nur relativ begrenzt möglich und führt teilweise zu nicht ganz idealen Ergebnissen.

Sauber macht man es eben so, wie von Arthur oben beschrieben.

Ja, das hätte ich eigentlich wissen müssen Big Laugh

Nach dem Motto $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x}x^2 = 0 \cdot \lim_{n \to \infty} x^2 =0 \end{eqnarray*}$

08.10.2009, 08:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gaast
Nach dem Motto $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x}x^2 = 0 \cdot \lim_{n \to \infty} x^2 =0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x}x^2 = x \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

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