f(x)-g(x)=sin(x)

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Gaast Auf diesen Beitrag antworten »
f(x)-g(x)=sin(x)
Hi,

könnte mir bei folgender Aufgabe jemand einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben bzw. mir sagen, worauf ich achten muss:

Finde zwei steigende Funktionen f(x) und g(x), für die gilt:



schonmal Danke und lg smile
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, dass monoton steigende (Notfalls auch streng monoton) Funktionen gesucht sind.

Form doch eine Gleichung einfach mal um.

Wir haben doch da stehen:

f(x)=g(x)+sin(x).


Das bedeutet du suchst eine monoton steigende Funktion, die auch dann noch monoton steigend bleibt, wenn wir den (teilweise negativen) sinus dazuaddieren.

Es gibt ein einfaches Kriterium für Monotonie, dass sich hier sehr schön anwenden lässt.
Gaast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ManusDas bedeutet du suchst eine monoton steigende Funktion, die auch dann noch monoton steigend bleibt, wenn wir den (teilweise negativen) sinus dazuaddieren.

Es gibt ein einfaches Kriterium für Monotonie, dass sich hier sehr schön anwenden lässt.


ich kenne 2 Kriterien:

1. f ist monoton steigend wenn f'(x) > 0
hier angewandt: f'(x)=g'(x)-cos(x) > 0 [stimmt das?]

2. f ist monotn steigend, wenn a>b impliziert, dass f(a)>f(b)
man könnte doch z.B. versuchen, aber glaube nicht, dass man so weiterkommt verwirrt
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, Nr. 1 hilft dir hier bedeutend weiter.

Das heißt du suchst eine Funktion g für die gilt:


g'(x)>0 für alle x € IR

und g'(x)-cos(x)>0 für alle x € IR

Ersteres ist ja ziemlich einfach hinzubekommen. Für das zweite musst du jetzt ein bisschen nachdenken.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Lehrer
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Lehrer


Tatsache,

witzigerweise ändert das an der Aufgabe aber so gut wie nichts...
 
 
Gaast Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldige, ich muss nochmal nachfragen, ich hab mit Funktionen immer meine Schwierigkeiten...

es soll gelten:

ich könnte also auch eine Funktion suchen, für die

gilt.
Wenn ich einfach mal g'(x)-1=0 setzte, dann ist
g(x)=x
Dann wäre f(x) einfach x+sin(x)

Passt das so? Was müsste man ändern, wenn eine streng monoton steigende Funktion gesucht ist ?
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte so passen. Die Funktion ist sogar (wenn du sie mal plottest streng monoton steigend).

Eine Ableitung, die überall größer 0 ist ist meines Erachtens nach lediglich eine hinreichende und keine notwendige Bedinung für strenge Monotonie.

Ansonsten nimm doch eine Funktion die g(x)=x relativ ähnlich ist, aber eine größere Steigung hat.
Gaast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manus
Ansonsten nimm doch eine Funktion die g(x)=x relativ ähnlich ist, aber eine größere Steigung hat.


Entschuldige, ich habe meine Frage schlecht formuliert. Natürlich könnte man einfach 1,1x nehmen, wäre aber mathematischer "overkill" Augenzwinkern

Gibt es für das "relativ ähnlich" auch eine saubere mathematische formulierung?
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Gesucht ist doch EINE Funktion, die es tut.

Das erfüllt 1,1x (genau wie jede andere Gerade mit Steigung größer eins) doch.

In diesem Fall heißt relativ ähnlich Polynomfunktion 1. Grades mit 1. Ableitung größer 1.

Allerdings gibt es noch eine ganze Reihe von Funktionen, die die Bedingung ebenfalls erfüllen. Danach ist aber in der Aufgabe nicht gefragt.


Edit: "Gerades" in "Grades" geändert. Das tat ja weh beim Hingucken.
Gaast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manus
Gesucht ist doch EINE Funktion, die es tut.

Das erfüllt 1,1x (genau wie jede andere Gerade mit Steigung größer eins) doch.

In diesem Fall heißt relativ ähnlich Polynomfunktion 1. Gerades mit 1. Ableitung größer 1.

Allerdings gibt es noch eine ganze Reihe von Funktionen, die die Bedingung ebenfalls erfüllen. Danach ist aber in der Aufgabe nicht gefragt.


du hast du natürlich recht, danke für deine hilfe smile
Gaast Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss nochmal nachfragen:
der prof ist mit meiner formulierung nicht zufrieden...ich weiß aber nicht, was genau da nicht passt?


Da monoton steigend sein soll, muss gelten:
bzw.
Da erfüllt jede Funktion, die erfüllt auch die oberen Bedingungen. Da nur eine Funktion gesucht ist setzen wir


grüße und Danke smile
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