Implizite Differentiation von p*V = const.

07.10.2009, 23:00	Milkaschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
*Implizite Differentiation von pV = const.** Hallo, wir haben heute die Formel $\begin{eqnarray} pV=const. \end{eqnarray}$ irgendwie implizit differenziert. Dazu haben wir folgendes aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} pV=const. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p\frac{dV}{dp}+\frac{dp}{dp}V =0 \end{eqnarray}$ Wie man hier auf die zweite Gleichung kommt, ist mir nicht so ganz klar. Bei einer impliziten Gleichung stehen ja alle Variablen auf der einen Seite vom $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ ; die andere Seite ist $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Das ist ja nun bei der zweiten Gleichung gegeben, aber wie kommt man von $\begin{eqnarray} pV=const. \end{eqnarray}$ auf diese? Anschließend haben wir die zweite Gleichung durch $\begin{eqnarray} (pV) \end{eqnarray}$ geteilt. Warum wir das gemacht haben, ist mir auch schleierhaft. Das Ganze diente der Herleitung des Kompressibilitätskoeffizienten $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ . Würde mich über eine Hilfestellung freuen!
08.10.2009, 00:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
p*V = const diese Gleichung wird beidseitig (nach p) differenziert. Links setzt die Produktregel an, rechts wird die Konstante zu Null. mY+
08.10.2009, 00:12	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht auch nach der Kettenregel: $\begin{eqnarray} \phi(V,p)=p\cdot V-c=0\Leftrightarrow V(p)=V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=\frac{\dd \phi(V,p)}{\dd p}=... \end{eqnarray}$
08.10.2009, 15:01	Milkaschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erstmal vielen Dank für die beiden Antworten! Das mit der Produktregel habe ich soweit verstanden. Ich hab immer ein bisschen Probleme mit diesen Differentialquotienten, also mir ist nicht immer klar, dass die Ableitung von V nach p so geschrieben wird: $\begin{eqnarray} \frac{dV}{dp} = \frac{d}{dp}(V) \end{eqnarray}$ . Naja, zum Glück studier' ich nicht Mathe. Gut, jetzt ist mir die ganze Sache aber immer noch nicht so ganz klar: Wenn man die Formel $\begin{eqnarray} pV=const. \end{eqnarray}$ umstellt, sieht man ja, dass V von p abhängt: $\begin{eqnarray} V = \frac{const.}{p} \end{eqnarray}$ . Also muss man die Produktregel anwenden, aber dann fällt das $\begin{eqnarray} \frac{dP}{dP} \end{eqnarray}$ ja eh wieder raus...!? Mit ist schon klar, dass die Ableitung von p nach p 1 ist, aber irgendwie verstehe ich nicht, warum wir überhaupt beide Seiten nach p abgeleitet haben... Die Ableitung von V nach p ist doch dann $\begin{eqnarray} \frac{dV}{dp}=-\frac{const.}{p^2} \end{eqnarray}$ . Wenn ich jetzt aber in unser Ergebnis, also $\begin{eqnarray} -\frac{1}{V}\frac{dV}{dp}=\frac{1}{p}=\kappa \end{eqnarray}$ meine eben gebildete Ableitung einsetze, stimmt die Gleichung ja auch (wenn man $\begin{eqnarray} const. \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} pV \end{eqnarray}$ ersetzt). Aber warum lässt man in der Gleichung für $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ noch diesen Differentialquotienten stehen, wenn man auch einfach $\begin{eqnarray} -\frac{const.}{p^2} \end{eqnarray}$ schreiben könnte? Und mir ist noch nicht so klar, warum wir im zweiten Schritt durch $\begin{eqnarray} pV \end{eqnarray}$ geteilt haben. Letztendlich kam man so auf den Kompressibilitätskoeffizienten. Muss man einfach "wissen" auf was man kommen wollte, um zu wissen, was man tun muss? Würd mich freuen, wenn ihr meinem mathematischen Unverständnis nochmal auf die Sprünge helfen könntet, indem ihr mir erklärt, warum der Prof da die einzelnen Schritte gemacht hat, wie er sie gemacht hat...
08.10.2009, 17:36	Milkaschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit das ganze nicht zu unübersichtlich wird, mache ich mal einen neuen Post auf und verändere den alten nicht: Und zwar weiß ich jetzt, dass wir $\begin{eqnarray} \kappa = -\frac{dV}{Vdp} \end{eqnarray}$ für ein ideales Gas definieren wollten. Dazu müssen wir wissen was $\begin{eqnarray} \frac{dV}{dp} \end{eqnarray}$ für ein ideales Gas ist. Auf die Herleitung meines Profs wäre ich aber nicht gekommen. Folgende Herleitung verstehe ich: $\begin{eqnarray} F=pV \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dV}{dp}=-\frac{F}{p^2}=-\frac{pV}{p^2}= \frac{-V}{p} \end{eqnarray}$ Setzt man nun das Ergebnis dieser Rechnung in die Formel für $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ ein, erhält man $\begin{eqnarray} \kappa = \frac{1}{p} \end{eqnarray}$ für ein ideales Gas. Das die allgemeine Formel für den Kompressibilitätskoeffizienten $\begin{eqnarray} \kappa = -\frac{dV}{VdP} \end{eqnarray}$ uns schon vorher bekannt war, war mir erst nicht bewusst. Wie mein Prof auf seine Herleitung kommt, versteh ich schon ansatzweise (er wollte von $\begin{eqnarray} pV = const. \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} -\frac{dV}{VdP} = ?? \end{eqnarray*}$ kommen, finde seinen Ansatz schon sehr kompliziert...

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