vollständige induktion

07.10.2009, 23:02

Tammy11

vollständige induktion

Hey

ich hab eine aufgabe gestellt bekommen , die anscheinend totaler schwachsinn sein soll und soll dies mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen..

A(n) = 1/3 +1/15 +1/35+...+1/ [(2n-1)(2n+1)] = 3n+1 / 2n+1
naja.. beim anfangsschritt habe ich dann für n 1 eingesetzt

d.h. 1/3 = 4/3 ..ist somit falsch..
kann mir jemand bei dem induktionsschritt helfen
ausgehen davon A (n) sei wahr

07.10.2009, 23:21

tigerbine

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RE: vollständige induktion
Latex bitte.

$\begin{eqnarray*} A(n):=\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \stackrel{!} =\frac{3n+1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du keinen gültigen Startwert hast, ist eine Induktion sinnlos. Augenzwinkern

sicher, dass kein Tippfehler vorliegt?

07.10.2009, 23:26

Tammy11

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RE: vollständige induktion
nee.. ^^. liegt kein tippfehler vor..
also hab das so gesagt bekommen , dass ich beweisen soll es sei falsch.

aber i wie kann ich nichts damit anfangen

07.10.2009, 23:29

tigerbine

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RE: vollständige induktion
Wenn du zeigen sollst, dass es falsch ist, kannst du in der Induktion nicht annehmen, dass es richtig sei. Sollst du es denn mit Induktion machen? Dann müßtest du zeigen:

$\begin{eqnarray*} A(n):=\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + ... + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \stackrel{!} \neq \frac{3n+1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Den Startwert hast du. Nimm nun an:

$\begin{eqnarray*} A(n) \neq \frac{3n+1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Warum folgt dann

$\begin{eqnarray*} A(n+1) \neq \frac{3(n+1)+1}{2(n+1)1} \end{eqnarray*}$

07.10.2009, 23:32

Tammy11

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RE: vollständige induktion
da müsste ja am ende rauskommen

$\begin{eqnarray*} +....+ 1/ [ 2n *(2n+2)] = [3n+2] / [ 2n+2] \end{eqnarray*}$

bei den zwischenschritten komme ich iwie nicht klar

07.10.2009, 23:35

tigerbine

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RE: vollständige induktion
Da muss eine ungleichung rauskommen. Ich sehe nicht, wo du irgendeinen Zwischenschritt gemacht haben willst.

07.10.2009, 23:36

Tammy11

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RE: vollständige induktion
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

07.10.2009, 23:40

tigerbine

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RE: vollständige induktion
Was soll das nun sein?

07.10.2009, 23:41

Tammy11

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RE: vollständige induktion
sry..^^ jetz weiß ich auch wie ich das schreiben muss Big Laugh

also wir sollen annehmen, das A (n) wahr sei
, somit wäre auch A (n+1) wahr..

d.h:

$\begin{eqnarray*} A(n) : \frac{1}{3} +\frac{1}{15}...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{3n+1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A(n+1) ) ...+ \frac{1}{2n*(2n+2)} = \frac{3n+2}{2n+2} \end{eqnarray*}$

aber ich seh die verbindung da nicht.. und weiß nich richtig.. wie ich als zwischenschritt die falschheit nachweisen soll... ?

07.10.2009, 23:43

tigerbine

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RE: vollständige induktion
Du hörst mir doch gar nicht zu. Man soll zeigen, dass es falsch ist. also dass die Ungleichung richtig ist.

07.10.2009, 23:52

Tammy11

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RE: vollständige induktion
sry, also kann ich das gar nicht anders , als durch die Ungleichung lösen

naja.. ok

danke für die hilfe

07.10.2009, 23:56

tigerbine

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RE: vollständige induktion
Die Ungleichung ist eben die Aussage, deren Gültigkeit man für alle n zeigen soll. Du hast gesagt mit Induktion. Dann mach sie doch auch. Es steht nur anstat "=" eben " $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ " da. Augenzwinkern

08.10.2009, 09:06

O. Becker

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von Tammy11
Hey

ich hab eine aufgabe gestellt bekommen , die anscheinend totaler schwachsinn sein soll und soll dies mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen..

A(n) = 1/3 +1/15 +1/35+...+1/ [(2n-1)(2n+1)] = 3n+1 / 2n+1
naja.. beim anfangsschritt habe ich dann für n 1 eingesetzt

d.h. 1/3 = 4/3 ..ist somit falsch..
kann mir jemand bei dem induktionsschritt helfen
ausgehen davon A (n) sei wahr

Berechne doch einfach den tatsächlichen Wert der endlichen Summe:

$\begin{eqnarray*} A(n):=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \end{eqnarray*}$

Du solltest dabei herausbekommen dass $\begin{eqnarray*} A(n)=\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$ , womit dann auch Deine Ungleichung offensichtlich ist.

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