[gelöst] Normale eines Vektors im Raum

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Leye Auf diesen Beitrag antworten »
[gelöst] Normale eines Vektors im Raum
Hi,

ich bin leider ein bisschen aus der Übung was die Lösung eines überbestimmten (? bin mir nicht mehr ganz sicher um den Begriff) LGS angeht. Als Beispiel mal diese Aufgabe:

Einen Normalenvektor zu finden.



(Das Kreuz soll natürlich das Skalarprodukt sein.)

Es entsteht diese Gleichung:

Ich möchte jetzt ausdrücken, dass es unendlich viele solcher Normalen gibt und zwar in Abhängigkeit von n_1. Also müssten die 2. und 3. Komponente des Normalenvektors abhängig von n_1 sein.

Wie ich es auch umforme, leider komme ich einfach nicht darauf, wie ich n_2 und n_3 allein in Abhängigkeit von n_1 bestimme. Wenn ich zum Beispiel schreibe:




Und dann wieder einsetze, kommt am Ende wieder n_3 = n_3 bzw. n_2 = n_2 raus (gibt es dafür einen Begriff?).

Auch wenn ich Parameter einfüge, zum Beispiel n_2 = a, n_3 = b, wüsste ich nicht, wie ich das alles dann allgemein formulieren könnte.

Ich komm mir gerade etwas dumm vor, weil ich das einfach nicht durchschaue, aber ich hoffe, hier kann mir jemand nachhelfen, dafür wäre ich sehr dankbar. smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich möchte jetzt ausdrücken, dass es unendlich viele solcher Normalen gibt


Dieser Gedankengamg ist noch korrekt.

Zitat:
und zwar in Abhängigkeit von n_1. Also müssten die 2. und 3. Komponente des Normalenvektors abhängig von n_1 sein.


Das wird nicht funktionieren, da ohne zusätzliche Bedingung die eine Komponente immer von genau ZWEI Variablen abhängen wird.
Wenn du deine Gleichung nach n1 oder n2 oder n3 auflöst wirst du auf der anderen Seite immer die 2 verbleibenden Komponenten des Vektors haben.

Bei Ebenen in Parameterform gibt es einen Ansatz, dass man einen Vektor sucht, der zu beiden Richtungsvektoren senkrecht steht (Kreuzprodukt)
Wenn also z.B. noch ein Vektor im Spiel ist, dann wirst du es am Ende auch schaffen die Lösungmenge in Abhängigkeit von genau einer Variable auszudrücken.
Leye Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Björn,

schonmal Danke für deine Antwort. smile

Das war wohl die ganze Zeit mein Problem, dass ich versuchen wollte, die 2. Variable zu eliminieren, was aber nicht klappen kann, wie du mir erklärt hast.

Gibt es sonst eine Möglichkeit, wie man eine allgemeine Vorschrift vorgeben kann?

Also mir fallen gerade mehrere Wege ein, eine Normale finden, zum Beispiel eine Komponente variabel halten und die anderen 2 auf 90° anpassen, aber ich frage mich, ob es ein "Rezept" gibt in der Weise, wie ich es oben angefangen habe.

EDIT
Noch zu deinem letzten Absatz: Das mit dem Vektorprodukt ist mir bekannt, allerdings beschäftigte mich die Frage, wie man so etwas bei einem einzigen Vektor machen würde.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale eines Vektors im Raum
Zitat:
Original von Leye
...
Es entsteht diese Gleichung:
...

Damit bist du bereits fertig, denn diese Gleichung ist nichts anderes als die Gleichung einer (möglichen) Ebene (diese hier geht durch den Nullpunkt), die (1; 2; -1) als Normalvektor hat. Du kannst also n1, n2, n3 durch x1, x2, x3 ersetzen.
Da in ihr unendlich viele Richtungsvektoren liegen, die alle zu (1; 2; -1) senkrecht sind, kannst du zwei Koordinaten beliebig wählen.

Zitat:

...
Und dann wieder einsetze, kommt am Ende wieder n_3 = n_3 bzw. n_2 = n_2 raus (gibt es dafür einen Begriff?).
...

Ja; das nennt man eine Identität oder identische Gleichung.

Zitat:

...
Auch wenn ich Parameter einfüge, zum Beispiel n_2 = a, n_3 = b, wüsste ich nicht, wie ich das alles dann allgemein formulieren könnte.
...


Nichts leichter als das: Setze dies in die o.a. Gleichung ein, es kommt:



Und damit liegt auch schon die Parameterform dieser Ebene (durch den Nullpunkt) vor:







Und das wirst du sicher auch noch vektoriell schreiben können ...

mY+
Leye Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale eines Vektors im Raum
Hallo mYthos,

erstmal vielen Dank für deine Antwort und die Zeit, die du dir nimmst. Bei diesem Schritt ist mir (peinlicherweise) noch etwas unklar:

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von Leye
...
Es entsteht diese Gleichung:
...

Damit bist du bereits fertig, denn diese Gleichung ist nichts anderes als die Gleichung einer (möglichen) Ebene (diese hier geht durch den Nullpunkt), die (1; 2; -1) als Normalvektor hat. Du kannst also n1, n2, n3 durch x1, x2, x3 ersetzen.
Da in ihr unendlich viele Richtungsvektoren liegen, die alle zu (1; 2; -1) senkrecht sind, kannst du zwei Koordinaten beliebig wählen.


Könntest du mir das noch genauer erklären? Dass ich zwei Koordinaten/Komponenten beliebig wähle, wollte ich ja schon vorher, aber wenn ich mir jetzt zwei aussuche, ergibt das mit (1, 2, -1) (Skalar-)multipliziert doch nicht unbedingt 0. Oder fehlt mir einfach der richtige Gedanke dahinter? geschockt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz kann ich dein Problem nicht verstehen. Oder du könntest es vielleicht noch näher präzisieren? Offensichtlich hast du bei der Berechnung oder beim Einsetzen einen Fehler gemacht. Du hast gewählt:

n2 = a
n3 = b

daraus folgt (wegen n1 + 2n2 - n3 = 0): n1 = -2a + b

Wenn du das wieder in das Skalarprodukt einsetzt, kommt doch

( (-2a + b); a; b ).(1; 2; -1) = 0

Oder?
Wenn du zwei Variable ausgesucht hast, muss aber die dritte dazu immer passend berechnet werden; vielleicht ist es das, was du nicht beachtet hast.

mY+
 
 
Leye Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, danke mYthos, jetzt hab ich es endlich verstanden. Ich war wohl etwas begriffsstützig, aber jetzt werd ich das wohl nie mehr vergessen. Augenzwinkern

Damit wäre meine Frage erledigt, nochmals vielen Dank. smile
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