rechenschritt im hilbertraum

08.10.2009, 12:07	Mathematix	Auf diesen Beitrag antworten »
rechenschritt im hilbertraum ich komme bei folgendem schritt nicht ganz hinterher. gegeben sei ein hilbertraum. warum gilt $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\left(\|\|x_n\|\| + \|\|y_n\|\| \right)^2 \leq \left( \left(\sum_{k=1}^{\infty}\|\|x_n\|\|^2 \right)^{1/2} + \left(\sum_{k=1}^{\infty}\|\|y_n\|\|^2 \right)^{1/2} \right)^2 \end{eqnarray}$
08.10.2009, 14:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst mal ein Tipfehler, deine Summen laufen über k die einzelnen Summanden werden aber mit n indiziert. Ansonsten nehm ich mal an dass die Folgen $\begin{eqnarray} x_k,y_k \subset H \end{eqnarray}$ so gewählt sind das die Reihen existieren. Betrachte nun die reellen Zahlenfolgen $\begin{eqnarray} a_n = \|\|x_n\|\|, b_n = \|\|y_n\|\| \end{eqnarray}$ Damit kriegen wir $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~\left(\|\|x_k\|\| + \|\|y_k\|\| \right)^2 = \sum_{k=1}^\infty (a_k + b_k)^2 = \sum_{k=1}^\infty \|a_k + b_k\|^2 = \\|a + b\\|_2^2 \leq (\\|a\\|_2 + \\|b\\|_2)^2 = \left( \left(\sum_{k=1}^{\infty}\|\|x_k\|\|^2 \right)^{1/2} + \left(\sum_{k=1}^{\infty}\|\|y_k\|\|^2 \right)^{1/2} \right)^2 \end{eqnarray}$ Also eigentlich nur eine Anwendung der Dreiecksungleichung.
08.10.2009, 15:24	Mathematix	Auf diesen Beitrag antworten »
super! danke!

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