Determinante Laien erklären |
| 08.10.2009, 18:39 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Determinante Laien erklären Wie kann man denn den Begriff der Determinante einem Laien erklären? Ich weiß, dass die Determinante eine Zahl ist, die eine Matix beschreibt. Ist die Determinante ungleich 0, so kann man die Matrix invertieren. Allerdings ist das wohl noch nicht wirklich laienhaft erklärt. Die Determinante hat ja auch noch was mit dem Volumen zu tun. Wenn man den Betrag der Determinante nimmt, ist dies gleich dem Volumen des Parallelepipels welches durch Vektoren aufgespannt wird. Allerdings weiß ich nicht genau durch welche Vektoren. Angenommen ich habe eine Matrix: Dann ist die Determinante ja 15-2=13. Ist es dann das Volumen der Vektoren und Oder das Volumen das durch und aufgespannt wird? Um zweidimensionalen (wie hier) wäre es ja dann der Flächeninhalt. Im dreidimensionalen das Volumen. Was beschreibt die Determinante dann im eindimensionalen und im vierdimensionalen bzw. im n-dimensionalen? Und gibt es noch eine andere anschauliche Bedeutung der Determinante außer der Betrachtung als Volumenfunktion? Gruß, Sonnenschein1 |
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| 08.10.2009, 18:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Determinante Laien erklären
Ist so nicht korrekt. http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29 Die Determinante ist eine Funktion. Die Zahl ist der Funktionswert det(A) |
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| 08.10.2009, 18:58 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, dann formuliere ich das etwas um: Die Determinante von A ist eine Zahl, die eine Matrix A beschreibt besser so?
oh, das habe ich jetzt noch nicht gehört... Ich nehme aber einmal an, dass ich sie nicht wie eine Funktion aufzeichnen kann, oder? Das kann ich mir nämlich nicht so ganz vorstellen. Also mir ist klar, dass ich für verschiedene Werte x einer Funktion verschiedene Funktionswerte erhalten kann. Und so auch für verschiedene Matrizen verschiedene Determinanten erhalten kann. Aber in einer Funktion sind doch (zumindest meistens) die Funktionswerte verbunden (Stichwort: Stetigkeit), bei Matrizen konnte ich das noch nicht so feststellen... Und es wird ja auch nicht unbedingt jeder Wert angenommen (wie bei Funktionen stetigen Funktionen zwischen zwei Funktionswerten jeder Wert angenommen wird). Naja, wahrscheinlich kann ich doch für jeden Wert eine Matrix basteln... Klar, Matrizen, die ähnlich aussehen, haben ähnliche Determinanten (auch wenn das mathematisch nicht ganz korrekt ausgedrückt ist) Aber ich habe noch keinen so starken Zusammenhang wie bei Funktionen erkannt... Ich bin gerade etwas verwirrt... soll das aber doch für Anfänger erklären (also so leicht wie eben möglich 
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| 08.10.2009, 19:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da du in HS Mathe postet, verstehe ich nicht, warum wir mit "Bildern" um die Sache drumrumreden sollten.... Von wo nach wo und wie die Determinaten(funktion) abbildet steht doch im Link. Ferner ist es für eine Funktion weder nötig stetig zu sein, noch surjektiv. Wichtig ist, dass jeder Matrix eindeutig ein Element des Körpers zugeordnet wird. Warum gibst du nicht einfach die Definition an? Danach kannst du auf Anwendungen eingehen. |
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| 08.10.2009, 20:29 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn man zum Beispiel Matrizen mit rellen oder komplexen Einträgen nimmt, dann ist sogar die Determinantenfunktion stetig. Das sieht man sehr einfach mit der Darstellung der Determinante als Leibnizformel [stetig, da sich die Determinante nur aus Produkten und Summen berechnet]. Weiter ist sie sogar differenzierbar !
Es wird tatsächlich auch jeder Wert angenommen ! Willst du, dass ist, dann nehme für eine Diagonalmatrix mit erstem Eintrag und restlichen Einträgen 1 auf der Diagonalen. |
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| 09.10.2009, 15:09 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja, das leuchtet mir ein. Alle Produkte und Summen einzeln sind stetig und somit ist die Zusammensetzung auch stetig.
Ja, da hast du auch recht. Da hätte ich auch selber draufkommen können ^^
Ja klar. Natürlich ist das ganze auch mit der Definition und so genauer. Aber es schadet doch nicht, wenn man sich unter der Sache auch anschaulich etwas vorstellen kann. Mir ist auch klar, dass man die Determinante anschaulich wohl nie ganz präzise beschreiben kann. Ich habe bei dem Wikipediaartikel aber auch nicht alles vestanden. Und vorallem die Sache mit dem Flächeninhalt den ich doch schon ziemlich anschaulich finde, habe ich dort nicht verstanden. Ich kann die Frage aber natürlich auch noch in der Schulmathematik stellen, wo man dann eher mit Bildern drumrumredet
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| 09.10.2009, 15:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du verstehst mich falsch. Wem willst du die Det erklären mit welchem Ziel. In HS finde ich es falsch irgendwelche Bilder zu erzeugen, da man sich am Ende bei Aufgaben doch mit der Definition auseinander zusetzen hat. In der Schule beschränkt man sich i.A. auf den Fall von 2x2, 3x3 Matrizen und kann dort auch gerne bildlichen Bezug herstellen. Dort sind aber auch "Vektoren" gerne Pfeilinien, in der LinA sind das einfach Elemente eines Vektorraums.
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| 09.10.2009, 16:25 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na, ich möchte es so erklären, dass es jeder versteht, der Vektoren kennt. (deshalb dachte ich ja auch, es wäre besser diese Frage in der Schulmathematik zu stellen, weil ich es ja wie in der Schulmathematik erklären will (aber da wurde der Thread ja geschlossen...)) Ich möchte es anschaulich erklären, auch wenn ich später mit der Definition arbeiten muss. Deshalb möchte ich ja auch zuerst die einfachen Fälle von 2x2 Matrizen und 3x3 Matrizen betrachten und mit Vektoren als Pfeilen. Ausgehend von dem kann man dann ja immer noch ins Unanschauliche gehen. Was genau ist denn gleich, wenn ich zwei Matrizen mit der gleichen Determinante habe? Ist dann wirklich der Flächeninhalt im zweidimensionalen und das Volumen im dreidimensionalen gleich? Und wie ist das genau mit dem Flächeninhalt?
Und wenn da dann eben der Flächeninhalt gleich ist (was ich irgendwo gelesen habe), warum ist er gleich? Ich rechne die Determinante doch einfach irgendwie aus und erhalte eine Zahl. Wie komme ich darauf, dass das jetzt der Flächeninhalt bzw das Volumen sein soll? |
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| 09.10.2009, 16:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie gesagt, für ein Referat an der Uni (LinA) bin ich gegen diesen Aufbau. 2 Vektoren haben doch kein Volumen. Noch nicht mal eine Fläche. Das sind einfach nur 2 Elemente des VR 
Wenn du anschaulich arbeiten willst solltest du dich im Bereich der "analytischen Geometrie" befinden. http://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt Hier wird imho gerade beim Kreuzprodukt aber eher getrickst, da man in der Matrix mal Körperelemente, mal Vektoren einträgt. Imho nur eine Hillfe sich die Rechenregel über Sarrus zu merken. http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/c...terminanten.pdf Seite 13 http://de.encarta.msn.com/encyclopedia_7...terminante.html In der LinA kommt es imho mehr auf die Fragen an Ist die Det(A)=0? Ist die Det(A) >0, Det(A) < 0 |
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| 09.10.2009, 17:11 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank für die Links, die sind sehr hilfreich! Es geht mir auch nicht um ein Referat (und damit nicht um einen Aufbau oder Einstieg) sondern um eine mündliche Prüfung in lineare Algebra und analytischer Geometrie. Und die erste Frage, die meine Freundin gestellt bekam, war eben, wie sie die Determinante einem Laien erklären würde und was das eigentlich anschaulich ist. Deshalb ist mir das "anschaulich" ja auch so wichtig. Dann ist ja auch klar, dass die Determinante = 0 ist, wenn die Vektoren linear abhängig sind, da dann z.B. 3 Vektoren sich nur in einer Ebene befinden würden. Und dann ist das Volumen eben 0. Und dass ein Gleichungssystem zB. nur eindeutig lösbar ist, wenn die Vektoren linear unabhängig und damit die Determinante ungleich 0 ist,... |
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