Beschränktheit, limes, superior

08.10.2009, 21:41

Ramseier

Beschränktheit, limes, superior

Guten Abend miteinander!

Ich habe folgende Aufgabe vor mir, bei der ich gerne wüsste, wie anfangen und was jeweils zu zeigen ist:

Sei (x_n) (n Element der natürlichen Zahlen) eine beschränkte Folge in R, und sei $\begin{eqnarray*} x: = \limsup_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass x folgende Eigenschaften hat:

a) Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es nur endlich viele x_n mit $\begin{eqnarray*} x_n \geq x + \epsilon \end{eqnarray*}$

b) Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es unendlich viele x_n mit $\begin{eqnarray*} x_n > x - \epsilon \end{eqnarray*}$

c) Formulieren Sie die zu a) und b) analogen Aussagen für $\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$

d) Untersuchen Sie im Fall einer (nach oben) unbeschränkten Folge (x_n), inwiefern zu a) und b) analoge Aussagen formuliert werden können.

Das wär's..
Also, offensichtlich sind vor allem a) und b) wichtig, weshalb ich um ein wenig Hilfe sehr froh wäre :-)

08.10.2009, 22:03

Mathespezialschüler

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Dann nenn uns doch erstmal die Definition des Limes superior und überlege dir, wie du aus dieser Definition a) folgern kannst. Das müsste eigentlich relativ direkt gehen - mehr als die Definition kannst du ja nicht verwenden.

10.10.2009, 17:18

Ramseier

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Also, ich definiere den limes superior wie folgt:

Sei s_n: = sup x_k (k >= n)
Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim s_n \in \mathbb R \bigcup {{-\infty}} = x \end{eqnarray*}$

Wo beginne ich nun, um bspw. a) zu lösen?

10.10.2009, 18:02

Mathespezialschüler

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Du nimmst dir die Definition her. Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |s_n-x|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt, also folgt $\begin{eqnarray*} s_n<x+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Und jetzt nimmst du dir die Definition von $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ her und guckst, was das heißt.

10.10.2009, 18:20

Ramseier

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Also, das heisst folgendes:

$\begin{eqnarray*} sup \ x_k < lim \ sup \ x_n + \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie aber kann man nun schliessen, dass es nur endlich viele x_n mit x_n >= x + Epsilon gibt?

10.10.2009, 18:41

Mathespezialschüler

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Genauer:

$\begin{eqnarray*} \sup_{k\geq n}x_k<\limsup_{m\to\infty}x_m+\varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Wie bereits oben gesagt, musst du nun die Definition des Supremums anwenden.

10.10.2009, 19:44

Ramseier

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Durch das Supremum ist natürlich die Endeutigkeit "bewiesen", und durch die obere Schranke werden die x_n natürlich auch beschränkt, sprich es sind endlich viele x_n vorhanden.

Meine Frage ist nun aber, wie man das mathematisch korrekt schreibt?

10.10.2009, 19:50

Mathespezialschüler

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Eindeutigkeit wovon? Wie meinst du, es sind 'endlich viele vorhanden'? Da musst du doch noch eine Eigenschaft nennen.

Es ist eigentlich nicht so schwierig: Es gilt nach Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} \sup_{k\geq n_0}x_k<\limsup_{m\to\infty}x_m+\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Das heißt insbesondere, dass für alle $\begin{eqnarray*} k\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} x_k<\limsup_{m\to\infty}x_m+\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt (das folgt aus der Definition des Supremums). Also können höchstens die endlich vielen Folgenglieder $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_{n_0-1} \end{eqnarray*}$ größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \limsup_{m\to\infty}x_m+\varepsilon \end{eqnarray*}$ sein.

10.10.2009, 20:15

Ramseier

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Ich meinte die Eindeutigkeit der Bestimmtheit des Supremums.

"endlich viele" Folgenglieder (hat gefehlt --> sorry!)

Stimmt, es ist wirklich gut nachzuvollziehen! smile

..ist aber $\begin{eqnarray*} lim \ sup \ x_m - \epsilon \end{eqnarray*}$ , so gäbe es ja unendlich viele Folgenglieder, die grösser x wären.
Könnte da man wie folgt argumentieren?:

Nach Voraussetzung gilt: sup x_n >= lim sup x_n - Epsilon
D.h es gilt (nach Def. des Supremums) x_k > lim sup x_n - Epsilon
Also sind unendlich viele Folgenglieder grösser als x - Epsilon.

11.10.2009, 17:40

Ramseier

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Ich hätte noch eine Frage zu der Aufgabe:
Wenn man an Stelle des Spupremums das Infimum einsetzt, gelten dann alle Aussagen noch genau so, oder sind dann jeweils die Ungleichheitszeichen vertauscht?

11.10.2009, 17:53

Ramseier

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..und gleich noch eine zweite:

Wenn x_n eine (nach oben) unbeschränkte Folge WÄRE, inwiefern könnte man dann analoge Aussagen zu
a) Zu jedem Epsilon > 0 gibt es nur endlich viele x_n mit x_n >= x + Epsilon
b) Zu jedem Epsilon > 0 gibt es unendlich viele x_n mit x_n > x - Epsilon
?

12.10.2009, 22:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Ramseier
Nach Voraussetzung gilt: sup x_n >= lim sup x_n - Epsilon
D.h es gilt (nach Def. des Supremums) x_k > lim sup x_n - Epsilon
Also sind unendlich viele Folgenglieder grösser als x - Epsilon.

Das ist leider viel zu ungenau. Du musst schon immer dazu sagen, was für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gelten soll. Richtig geht es so:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup_{k\geq n}x_k=x \end{eqnarray*}$ . Das heißt, zu dem vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} \left|\sup_{k\geq n}x_n-x\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

bleibt, d.h. für diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} x-\varepsilon<\sup_{k\geq n}x_n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt existiert nach Definition des Supremums für $\begin{eqnarray*} n=n_0 \end{eqnarray*}$ sicher ein $\begin{eqnarray*} m_1\geq n_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x-\varepsilon<x_{m_1} \end{eqnarray*}$ , analog existiert für $\begin{eqnarray*} n=m_1+1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m_2>m_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x-\varepsilon<x_{m_2} \end{eqnarray*}$ usw.. Erst durch diese Konstruktionsvorschrift bekommst du unendlich viele solche Elemente.

Natürlich kann man das einfach auf das Infimum übertragen. Du musst nur Plus- durch Minuszeichen ersetzen und umgekehrt und Relationszeichen umdrehen.

Und zu deiner letzten Frage: Was soll denn dann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein? a) kann man ganz sicher nicht übertragen, b) in etwas anderer Formulierung vielleicht schon.

PS: Es wäre schön, wenn du über die einfachen Übertragungen (wie z.B. bei c)) auch erstmal selbst eine Zeit lang nachdenkst und nicht immer gleich alles erfragst.

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