Vollständige Induktion

08.10.2009, 22:27

Torrac

Vollständige Induktion

Ich muss eine Übungsaufgabe abgeben und ich komm einfach nicht drauf. die Voraufgabe habe ich gelöst aber hier komm ich nicht weiter. Wahrscheinlich habe ich einfach falsch aufgelöst aber ich hoffe ihr könnt mir helfen:

Ich soll beweisen, dass das ganze auch für n+1 geht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a^i-1 = (a^n-1)/(a-1) \end{eqnarray*}$ für a Element von R \ {0,1}
(der Editor kann kein ^n+1, also das n durch n+1 ersetzten und das erste a^i-1 soll a^(i-1) sein geht aber auch net im editor)

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^1~a^1-1 = (a^1-1)/(a-1) \end{eqnarray*}$
=> 1 = 1

und für n+1 soll gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a^i-1 \end{eqnarray*}$ = (a^(n+1)-1)/(a-1)
(auch hier gilt, dass n=n+1 ist und das erste a^i-1=a^(i-1))

Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a^1-1 = (a^n-1)/(a-1) \end{eqnarray*}$

Insuktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a^i-1 = (a^n-1)/(a-1) \end{eqnarray*}$
=((a^(n+1)-1)/(a-1))+a^n
=(((a^n+1)-1)/(a-1))+((a^n(a-1)/(a-1))
=a^(n+1)-1+a^n(a-1)/(a-1)
=a^(n+1)-1+a^n

Und da hab ich mich total verfahren. Sorry aber der Editor ist nicht für n+1 ausgelegt. Ich hoffe man versteht alles.

08.10.2009, 22:32

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Zitat:

Original von Torrac
(der Editor kann kein ^n+1, also das n durch n+1 ersetzten und das erste a^i-1 soll a^(i-1) sein geht aber auch net im editor)

"Geht nicht" gibt's nicht - du weißt es nur nicht. Dem kann abgeholfen werden: $\begin{eqnarray*} a^{i-1} \end{eqnarray*}$

Ein Blick in ein paar andere Threads hätte auch geholfen, soviel als (wirklich nur) kleiner Tadel. Augenzwinkern

08.10.2009, 22:34

jester.

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Falls es um $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}a^{i-1} \end{eqnarray*}$ geht, frage ich mich, warum du dir so einen Stress machst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}a^{i-1}=\sum_{i=0}^{n-1}a^i=\frac{a^n-1}{a-1} \end{eqnarray*}$ , das ist die geometrische Summenformel.

Falls ihr die jedoch noch nicht kennt, musst du wohl tatsächlich eine Induktion machen. Dann solltest du alles mit Hilfe des Codes a^{i-1} ordentlich abtippen, damit man es auch lesen kann.

08.10.2009, 23:00

Torrac

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Jo ich kann das irgendwie nicht mehr editieren (15 Minuteregel oder so)
also nochmal

Ich muss eine Übungsaufgabe abgeben und ich komm einfach nicht drauf. die Voraufgabe habe ich gelöst aber hier komm ich nicht weiter. Wahrscheinlich habe ich einfach falsch aufgelöst aber ich hoffe ihr könnt mir helfen:

Ich soll beweisen, dass das ganze auch für n+1 geht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~a^{i-1} =\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$ für a Element von R \ {0,1}

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^1~a^{1-1} =\frac{a^{1-1}}{a-1} \end{eqnarray*}$
=> 1 = 1

Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~a^{i-1} =\frac{a^n-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

Insuktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~a^{i-1} =\frac{a^{n+1}-1}{a-1}+a^n =\frac{a^{n+1}-1}{a-1}+\frac{a^n(a-1)}{a-1} =\frac{a^{n+1}-1+a^n(a-1)}{a-1} =a^{n+1}-1+a^n \end{eqnarray*}$

Und da hab ich mich total verfahren. Sorry aber der Editor ist nicht für n+1 ausgelegt. Ich hoffe man versteht alles.

Diese Summenformel kenn ich leider nicht

08.10.2009, 23:20

jester.

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~a^{i-1} =\frac{a^{n+1}-1}{a-1}+a^n \end{eqnarray*}$

Hier steckt schon der Fehler:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}a^{i-1}=\left(\sum_{i=1}^{n}a^{i-1}\right)+a^n \stackrel{IV}{=} ... \end{eqnarray*}$

Verwende nun die Induktionsvoraussetzung (für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ !) indem du den Ausdruck in der Klammer ersetzt.

Dann musst du nur noch umformen, damit insgesamt der passende Term für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ dasteht. Und am besten, ohne aus einer Summe zu kürzen, so wie du es in der letzten Zeile deines Beitrags getan hast.

09.10.2009, 13:11

Torrac

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Ahh ich Idiot. Da war der Fehler

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~a^{i-1} =\frac{a^n-1}{a-1}+a^n =\frac{a^n-1}{a-1}+\frac{a^n(a-1)}{a-1} =\frac{a^n-1+a^n(a-1)}{a-1} = ??? \end{eqnarray*}$

So den Fehler hab ich gefunden aber ich schaff es nicht es so aufzulösen das dann da

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~a^{i-1} =\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

steht, was ich ja versuche zu beweisen

Ich weiß nicght ob das mathematisch korrekt ist:
$\begin{eqnarray*} =\frac{a^n-1+a^n(a-1)}{a-1} =\frac{a^n-1+a^{2+n}-a^n}{a-1} =\frac{a^{n+2}-1+a^n}{a-1} =\frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

09.10.2009, 13:12

jester.

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Löse die Klammer im Zähler auf, dann bist du fertig.

09.10.2009, 13:30

Torrac

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Okay hab mir nochma die Potenzregeln angeguckt. So müsste es stimmen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{a^n-1+a^n(a-1)}{a-1} =\frac{a^n-1+a^n(a^1)-a^n}{a-1} =\frac{a^n-1+a^{n+1}-a^n}{a-1} =\frac{-1+a^{n+1}}{a-1} = \frac{a^{n+1}-1}{a-1} \end{eqnarray*}$

=> q.e.d. hat mein Lehrer immer gesagt^^

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

09.10.2009, 16:50

jester.

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So stimmt's. Freude

09.10.2009, 20:59

Torrac

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Super danke. Manchmal braucht man jemanden der einem den richtigen Weg zeigt!

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