Vollständige Induktion |
| 09.10.2009, 07:51 | Aleph1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vollständige Induktion ich habe folgendes Problem bezüglich des Lösungsweges einer Aufgabe zur vollständigen Induktion, die mir vorliegt. Ich hatte leider lange kein Mathe mehr und kann diese Lösung daher nicht nachvollziehen. Ich hoffe jemand kann mir da helfen! Nun zur Aufgabe bzw. Lösung: A(n): Summe{i=0}^n~i = 1/2 n *(n+1). Der Induktionsanfang ist mir bisher klar ---> Summe{i=0}^0~i =0= 1/2*0*(0+1)=0 Stimmt also! Nun kommt der Induktionsschritt: Summe{i=0}^n+1~i =1/2 n *(n+1)*(n+1) Summe{i=0}^n+1~i = Summe{i=0}^n~i + (n+1) = 1/2 n *(n+1) + (n+1) = (n+1)*(1/2 n+1) = (n+1)*(1/2(n+2)) = 1/2(n+1)*(n+2) Meine Frage nun: Was passiert mit dem 1/2n (grün) in der nächsten Zeile??? Wie kommt das Ergebnis zu Stande (rot)? Wieso ist das 1/2 aufeinmal in der anderen klammer? und wo ist vom 1/2 (das sich nun in der klammer befindet) das n geblieben, denn es war ja 1/2n? Wo kommt dann im nächsten Schritt (blau) die 2 in (n+2) her und wieso wird ständig umgeklammert mit dem 1/2? Und letztendlich wie kommt überhaupt das Ergebnis zu Stande? Ich bitte, jeden einzelnen Teil meiner Frage (verständlich) zu beantworten, wenn möglich und wäre hierfür sehr sehr dankbar |
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| 09.10.2009, 08:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Vollständige Induktion
Zumindest mal ein Schreibfehler.
Da wird lediglich nur ausgeklammert. Anscheinend hast du da ein enormes Verständnisdefizit. Rechne doch den jeweiligen Schritt rückwärts, indem du die entstandene Klammer auflöst. Beispiel: Das ganze kannst du ohne weiteres auch rückwärts rechnen. Im übrigen ist das eher Schulmathe als Hochschulmathe. |
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| 09.10.2009, 09:13 | Aleph1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo klarsoweit, großen Dank erstmal zu deiner Antwort! Ich habe lediglich noch ein Verständnisproblem: Wie kommt man von der Addition auf die Multiplikation: 1/2n (n+1)+(n+1) --> (n+1)*(1/2n+1) ??? Und wie kommt man von 1/2 n *(n+1) zu 1/2n+1 ? Ich meine wohin verschwindet das n vom 1/2 (rot)? |
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| 09.10.2009, 09:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie schon gesagt: ausklammern (in diesem Fall) von dem Faktor (n+1). Rechne es doch mal rückwärts. (Hast du anscheinend nicht getan.)
Gar nicht, denn das wurde nirgendwo so gemacht. |
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| 09.10.2009, 09:53 | Aleph1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe es gerade versucht rückwärts zu rechnen: (n+1)*(1/2n+1). Jedoch weis ich nicht, was n*1/2n sind :S |
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| 09.10.2009, 09:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das brauchst du doch gar nicht rechnen. So läuft das: |
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| 09.10.2009, 10:06 | Aleph1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wurde in der Gleichung (n+1)*(1/2n+1)=(n+1)*1/2n+(n+1) das 1/2n zu dem (n+1) addiert (gilt nich punktrechnung vor strichrechnung :-/) Mein Problem ist, dass ich nicht weis, was aus dem 1/2n wird: Denn entweder ergibts 1/2n*n= 1/2n (wobei ich nicht weis, was mit dem n vom 1/2n passiert bei der multpklikation mit n. Müsste 1/2n*n nicht 1/2n² ergeben??? Oder das 1/2n wurde zum n addiert, aber wären es dann nicht 1 1/2n? (entschuldige bitte meine dummheit aber ich möchte es so gerne verstehen....) |
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| 09.10.2009, 10:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ich weiß nicht, wo dein Problem ist. So lautet das Distributivgesetz: Setze nun . |
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| 10.10.2009, 16:56 | Aleph1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach! Genau das ist es, was ich gebraucht habe! Nun kann ich es anhand des Distributivgesetzes nachvollziehen! Einen riesen großen Dank an dich klarsoweit! |
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