Funktion zu sortierten Realisierungen einer normalen Zufallsvariablen

09.10.2009, 16:22

RobR

Funktion zu sortierten Realisierungen einer normalen Zufallsvariablen

Hallo,

Ich erzeuge eine bestimmte Anzahl von Realisierungen einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0.

Diese Realisierungen sortiere ich dann aufsteigend.

Wenn ich mir diese sortierten Werte als Funktion vorstelle, erhalte ich ein "breites U".
Es sieht irgendwie wie eine in der Mitte gespiegelte Exponentialfunktion aus.
Die betragsmäßig großen Werte sind eher selten, die kleinen sehr häufig.

Wie nennt man diese Art von Funktion, die sich aus der Sortierung der Realisiationen einer Zufalssvariablen ergibt?
Wie berechnet man sie, wenn man nur eine Zufallsverteilung gegeben hat?
Und speziell: wie lautet diese Funktion für die Normalverteilung?

Mir fehlt einfach das Stichwort, um mich selbst schlau zu machen. Vielleicht könnt Ihr mir helfen.

Gruß,
Rob

09.10.2009, 18:16

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Zitat:

Original von RobR
Wie nennt man diese Art von Funktion, die sich aus der Sortierung der Realisiationen einer Zufalssvariablen ergibt?

Dazu müsstest du erstmal sagen, von was von einer Funktion du da redest, also wie du sie aus den Einzelwerten bildest!!!

Wenn ich raten müsste, was du da treibst, dann vielleicht die Empirische Verteilungsfunktion. verwirrt

09.10.2009, 20:38

RobR

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Hallo Arthur,

danke für deine Antwort.

Jetzt konnte ich mal an matlab ran.
Falls jemand damit was anfangen kann, hier der code für die beiden plots:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	n=10000; y=randn(n,1); figure(1) plot(y) ysort=sort(y); figure(2) plot(ysort);

Figur 1 plot:

http://img56.imageshack.us/i/noise.png/

Figur 2 plot:

http://img53.imageshack.us/i/sortednoise.png/

Offensichtlich habe ich mich bei meiner Vorstellung geirrt.
Irgendwie habe ich mir den Betrag der Funktion vorgestellt.
Wie auch immer, ich erwarte kein "breites U", sondern dieses "liegende Integralzeichen" auf Figur 2.
Mit Matlab habe ich die Funktion jetzt numerisch erzeugt. Ich möchte aber die analytische Formel dafür herausfinden und möchte wissen, wie man diese Art von Funktionen nennt, um mehr darüber lesen zu können.

Gruß,
Rob

10.10.2009, 12:13

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Also einen Quelltext hinwerfen, und dann "nun macht mal was draus" sagen, ist extrem schlechter Stil in der Hochschulmathematik. unglücklich

Ok, diesmal lasse ich das nochmal durchgehen: Du würfelst $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ normalverteilte Werte $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ aus, dann ordnest du sie aufsteigend:

$\begin{eqnarray*} x_1^* \leq x_2^* \leq \ldots \leq x_n^* \end{eqnarray*}$ ,

dieses $\begin{eqnarray*} (x_1^*,\ldots,x_n^*) \end{eqnarray*}$ nennt man in der Statistik geordnete Stichprobe. Dann plottest du anscheinend $\begin{eqnarray*} (k,x_k^*) \end{eqnarray*}$ , d.h. auf der Abszisse den Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und auf der Ordinate den Wert $\begin{eqnarray*} x_k^* \end{eqnarray*}$ der geordneten Stichprobe. Dieser Plot hat meines Wissens nach keinen speziellen Namen, wohl aber der damit verwandte Plot der Punkte $\begin{eqnarray*} \left( x_k^*,\frac{k}{n} \right) \end{eqnarray*}$ (das entspricht einer Spiegelung deiner Punkte an der Achse x=y sowie anschließender Stauchung der y-Achse), die liegen nämlich auf der oben bereits angesprochenen empirischen Verteilungsfunktion. Und die nähert sich für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ asymptotisch der Verteilungsfunktion der der Stichprobe zugrunde liegenden Verteilung - in deinem Fall der Normalverteilung.

10.10.2009, 17:35

RobR

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Hallo Arthur,

danke für deine Antwort. Jetzt erkenne ich es auch. Das hilft mir sehr weiter.

Mit dem Quelltext wollte ich mein Anliegen eigentlich nur klar machen, weil ich dachte, so sei es formaler als wie in meinem ersten Beitrag. Und scheinbar hat es seinen Zweck erfüllt.

Gruß,
Rob

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