Gauß-Lemma

09.10.2009, 18:04	Chivas	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Lemma Mir ist nicht ganz klar, wie man aus dem Gauß-Lemma Schlüsse auf die Irreduzibilität von Polynomen zieht. Wir haben das entsprechende Korollar so aufgeschrieben: Sei K der Quotientenkörper des faktoriellen Rings R. Sei $\begin{eqnarray} f = g \cdot h \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \in R[X] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g,h \in K[X] \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} \gamma_g=I(g), \gamma_h=I(h) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} g = \gamma_g \cdot g_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} h = \gamma_h \cdot h_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g_1, h_1 \in R[X] \end{eqnarray}$ primitiv. Dann gilt $\begin{eqnarray} f=(\gamma_g \gamma_h) \cdot g_1 h_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma_g \gamma_h = I(f) \in R \end{eqnarray}$ . Mein Ziel ist es, wenn ich z.B. ein Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ betrachte, die Irreduzibilität über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ aus der Irreduzibilität über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ zu folgern.
09.10.2009, 19:02	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn $\begin{eqnarray} f \in R[x] \end{eqnarray}$ irreduzibel ist, aber in $\begin{eqnarray} K[x] \end{eqnarray}$ in Polynome kleineren Grades $\begin{eqnarray} g \in K[x] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \in K[x] \end{eqnarray}$ zerlegbar wäre, so könnte man durch Einsetzen von Darstellungen $\begin{eqnarray} g=\frac {I(g)\tilde{g}} a,\ h=\frac {I(h)\tilde{h}} b\texttt{ mit } a,b \in R,\ \tilde{g},\tilde{h} \in R[x] \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} f=gh \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Gaußschen Lemmas leicht eine nichttriviale Zerlegung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ schon in $\begin{eqnarray} R[x] \end{eqnarray}$ gewinnen...

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