Beispiele für Vektorräume |
10.10.2009, 01:26 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Beispiele für Vektorräume ich habe mir gerade überlegt, was es denn alles für Vekorräume gibt. Also ich kenne die K-Vektorräume, dabei ist K ein Körper, also z.B. die rationalen, reellen oder komplexen Zahlen. Weiterhin ist ja der ein Vektorraum. Dabei ist K wie oben wieder ein Körper. Und ich kenne noch den Raum der Polynome als Vektorraum. Sowie den Raum der affinen Funktionen und den normierten Raum. Erst mal, stimmt das so? Und was gibt es denn sonst noch so für Vektorräume? |
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10.10.2009, 01:56 | outSchool | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Beispiele für Vektorräume Hallo, einen ganz wichtigen hast du vergessen, Vektorraum aller mxn Matrizen. Weiterhin sind Vektorräume: die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 über K oder Q-Vektorraum R (R ist ein Vektorraum über Q) oder der Vektorraum |
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10.10.2009, 07:30 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Banachraum Da gibt es einige Beispiele (unendlich-dimensionaler) Vektorräume wie z.B. der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kp. Intervall, der Raum aller beschränkten Folgen nach IR etc. (edit: genau genommen ist der Raum aller Polynome ein spezieller Folgenraum, bei dessen Folgen fast alle Folgenglieder Null sind.) |
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10.10.2009, 07:57 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Beispiele für Vektorräume
Das kann man natürlich für beliebige Größen und beliebige Körper übernehmen. Und einen ganz interessanten kenne ich noch: bildet mit der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation einen -Vektorraum. Ach ja, der Kern einer linearen Abbildung ist natürlich auch ein Vektorraum. |
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10.10.2009, 08:17 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Endlich-Dimensionale Vektorräume sind leicht klassifiziert: . Eine für die Algebra wichtige Beobachtung ist: Für eine Körpererweiterung ist ein Vektorraum |
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10.10.2009, 09:25 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
bildet als Teilraum eines euklidischen Vektorraums einen Vektorraum. |
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10.10.2009, 12:21 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Besonders hübsche Beispiele für Vektorräume sind m.E. auch jene abelschen p-Gruppen (G,+), in denen die Ordnung eines jeden Elements p teilt... In diesem Fall kann man nämlich G auf genau eine Weise als Vektorraum über auffassen, was in Verbindung mit einer Basisdarstellung der Elemente von G das Rechnen in G ungeheuer vereinfacht... |
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10.10.2009, 13:11 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ist natürlich kein Teilraum des euklidischen Vektorraums V sondern von End(V). |
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10.10.2009, 15:07 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Klar... |
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10.10.2009, 16:51 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Woow, vielen Dank für die vielen verschiedenen Antworten Also ich habe jetzt nicht alle Vektorräume verstanden, aber ich habe mir ein paar interessante rausgesucht, bei denen ich aufgeschreiben habe, wie ich das verstanden habe. Es wäre supernett, wenn ihr mir Rückmeldung geben könntet, ob ich das richtig verstanden habe. Also:
Davon habe ich jetzt noch nichts gehört, aber den finde ich interessent... Wie sieht dann da das Nullelement aus? Es müsste ja dann verschiedene Nullelemente geben z.B. die 1x1 Matrix mit dem einzigen Eintrag 0 oder die 2x2 matrix mit 4 Nullen als Einträge. Ist das überhaupt ok, verschiedene Nullelemente zu haben. Oder bilden z.B. alle 3x2 Matrizen einen eingenen Vektorraum und alle 13x5 Matrizen einen eigenen Vektorraum? usw.. Und gehe ich richtig in der Annahme, dass die Basis z.B. bei 2x2 Matrizen dann z.B. so aussehen würde ?
Wie kommt man den auf diesen Vektorraum? Ich weiß, dass der kleinste Körper ist, in dem z.B. 1+1=2=0 ist. Sind das jetzt einfach alle Vektoren, die aus zwei Einträgen bestehen, die ich aus 0 und 1 basteln kann? Dann wäre ist das so richtig?
Ist das die Allgemeinerung von z.B. Ich zähle also bis p und fange dann wieder von vorne an? Die Menge hat dann also p Elemente bzw p Äquivalenzklassen. Dann wären also alle Elemente die p ohne Rest teilt =0. Alle Elemente die p mit Rest 1 teilen =1. Alle Elemente die p mit Rest 2 teilen 2 usw... bis wir bei alle Elemente die p mit Rest p teilen = alle Elemente die p mit Rest 0 teilen angekommen sind. Ist das dann also modulu p, oder habe ich das falsch verstanden?
Ich habe in Wikipedia gefunden: "Ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ist die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen." Dann ist also ein Aus diesem Grund müsste dann auch gelten R ist ein Vektorraum über Q wie outSchool geschrieben hat. Das hat aber nichts mit Faktorräumen zu tun, oder? Die schreibt man nämlich ganz ähnlich... Grüße, smiiile |
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10.10.2009, 21:28 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Damit die unendlich dimensionalen VR hier nicht zu kurz kommen möchte ich noch kurz einwerfen, dass die stetigen Funktionen ein unendlich dimensionaler Vektorraum sind =) |
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10.10.2009, 22:46 | outSchool | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zum Beweis benutze die Matrizen und Beweise dann die Vektorraumaxiome zur Vektoraddition und Skalarmultiplikation, also usw. Das neutrale Element ist die Nullmatrix
Es gilt 1+1=0. 2 ist nicht Element von . Der Nachweis geht analog (s.o.). |
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10.10.2009, 23:03 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ja, ok. Vielen Dank Mir ist jetzt klar, wie der Beweis für die Matrizen abläuft.. werde ihn mal probieren. Man addiert ja zwei Matrizen, in dem man die jeweiligen Einträge addiert, diese kann man auch umdrehen und so ergibt sich z.B. Kommutativität. Die anderen Eigenschaften muss man dann auf die gleiche Weise explizit beweisen. Also bilden alle mxn Matrizen zusammen einen Vektorraum. Man muss nicht - wie ich zuerst dachte - das ganze für jedes einzelne m und n z.B. für m=13 und n=5 nachprüfen. Sondern der Vektorraum fasst alle zusammen. Ist auch viel sinnvoller es einmal für alle zu beweisen, sonst würde man bei abzählbar unendlich vielen natürlichen Zahlen wohl nie zum Ende kommen.
Ja, da hast du recht Die zwei stand da noch so aus Gewohnheit... |
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