Verlässliche Vorgehensweise bei Betragsfunktionen gesucht!!

10.10.2009, 11:48

D4K!ZZ4

Verlässliche Vorgehensweise bei Betragsfunktionen gesucht!!

Hallo Leute,

Ich suche eine Verlässliche Vorgehensweise wie man von einer Betragsfunktion auf die Schreibweise ohne Betragsstriche kommt und die richtige Fallunterscheidung dazu.

Augenmerk liegt eher auf dem letzteren.

Ich bekomms zwar in den meisten Fällen richtig hin aber warum genau weis ich nicht^^

Ich hoffe es kann mir jemand helfen.

Gruß Chris

10.10.2009, 12:23

Kopfrechner

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RE: Verlässliche vorgehensweise bei Betragsfunktionen gesucht!!
Die Antwort auf eine so allgemein gestellte Frage ist etwas schwierig, ich probiere es einmal so:
Zu Grunde liegt die Definition des Betrags:

$\begin{eqnarray*} |x| =x \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x\ge0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} |x| =-x \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Diese Betrachtungsweise überträgt man auf f(x) = |g(x)|. Dann läßt sich f mit zwei Teilfunktionen darstellen als

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} g(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(x) = - g(x) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} g(x)< 0 \end{eqnarray*}$

Für die Fallunterscheidung muss also untersucht werden, für welche Werte von x gilt:

$\begin{eqnarray*} g(x)\ge0 \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} g(x)<0 \end{eqnarray*}$

In der Praxis ist es oft empfehlenswert, die Nullstellen von g als Grenzfälle zu berechnen, also g(x)=0 und dann zu schauen, welches Vorzeichen g links bzw. rechts von einer Nullstelle bzw. zwischen zwei Nullstellen hat.

Ebenso empfehlenswert ist es, vorher den Graphen von g zu skizzieren und dann auf |g(x)| überzugehen, indem man die unterhalb der x-Achse liegenden Teile nach oben klappt (spiegelt). Dann kann man oft auch verbal argumentieren und spart sich die (rechnerische) Fallunterscheidung.
Beispiele hierzu: |x^2 -3|, |sin(x)| "scharf hinsehen" => notieren ..

Gruß, Kopfrechner

12.10.2009, 14:27

D4K!ZZ4

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Ich untersuch dann mit den Fällen für welchen Wert von x der Graph Positiv verläuft und für welchen negativ oder eventuell Null wird?

Gruß Chris

12.10.2009, 14:46

Kopfrechner

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Ja, so ist es. Nimm mein 1. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) =|x^2 -3| \end{eqnarray*}$

Die innere Funktion ist g(x)=x^2-3, sie hat die Nullstellen $\begin{eqnarray*} \sqrt(3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \sqrt(3) \end{eqnarray*}$ . Weil sie nach oben geöffnet ist, ist also g(x)<0 zwischen diesen Werten. Der Betrag macht sie positiv ...

Gruß, Kopfrechner

12.10.2009, 14:50

D4K!ZZ4

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Dann muss ich ja wenns um Quadratische Betragsfunktionen geht immer erst kucken wo sind meine Nullstellen das ich die Fälle bilden kann oder?

Hab grad was anders hier vor mir liegen:

$\begin{eqnarray*} |x+2|- |x| \end{eqnarray*}$

Da gibts laut Lösung 3 Fälle, die knallen mir aber nur die fertig funktionen ohne betragstriche hin, ich weis aber nicht ganz was dazwischen kommt bzw. wie ich in diesem Fall verrechnen muss.

Edit:

1) Verrechnen wie er da steht ohne VZ Änderung
2) Ersten Teil drehen mit zweiten verrechen
3) Ersten teil lassen zweiten drehen und verrechen
4) Beide Drehen und verrechnen

Ist das so in etwa die Vorgehensweise?

Gruß Chris

12.10.2009, 15:42

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Zitat:

Original von D4K!ZZ4
1) Verrechnen wie er da steht ohne VZ Änderung
2) Ersten Teil drehen mit zweiten verrechen
3) Ersten teil lassen zweiten drehen und verrechen
4) Beide Drehen und verrechnen

Ist das so in etwa die Vorgehensweise?

Im Grunde genommen schon. Allerdings erübrigt sich beim genaueren Hinschauen Fall 2):

Der beinhaltet die Fallbedingung $\begin{eqnarray*} x+2 < 0 \end{eqnarray*}$ , umgestellt zu $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ sowie die zweite Bedingung $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Beide gemeinsam sind durch kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erfüllbar.

Deshalb auch die Einschätzung mit den 3 Fällen.

Generell kommt man bei einer Gleichung/Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Beträgen, wo das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ innerhalb der Beträge nur linear vorkommt, mit maximal $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Fällen aus, statt das ganze Geschwurbel aller $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Vorzeichenkombinationen durchkauen zu müssen. Bei $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ wie hier ist der Unterschied noch nicht so groß, aber bei größeren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

12.10.2009, 15:48

Kopfrechner

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Zitat:

Original von D4K!ZZ4
Dann muss ich ja wenns um Quadratische Betragsfunktionen geht immer erst kucken wo sind meine Nullstellen das ich die Fälle bilden kann oder?

Ja, würde ich so machen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x+2|- |x| \end{eqnarray*}$
...
1) Verrechnen wie er da steht ohne VZ Änderung
2) Ersten Teil drehen mit zweiten verrechen
3) Ersten teil lassen zweiten drehen und verrechen
4) Beide Drehen und verrechnen

Ist das so in etwa die Vorgehensweise?

Ja, aber dein 2.Fall ist überflüssig.

a) Wenn x>=0, dann sind x+2 und x sicher beide $\begin{eqnarray*} \ge0 \end{eqnarray*}$ , also dürfen die Betragsstriche weggelassen werden und es gilt: |x+2| -|x| = x+2 -x =2

b) Wenn -2<=x<0, dann ist x+2>=0 =>Betragsstriche weglassen, sowie x<0: Term invertieren, also gilt |x+2| - |x| = x+2 - (-x) = 2x+2

c) Wenn x<-2, dann sind beide Teilterme negativ und müssen invertiert werden, wenn man die | | wegläßt: |x+2| - |x| = -(x+2) - (-x) = -2

Kontrolle grafisch:

Gruß, Kopfrechner

Ah, Artur war schneller. Schönen Gruß!

12.10.2009, 15:52

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Zitat:

Original von Kopfrechner
Ah, Artur war schneller. Schönen Gruß!

Bin ja nur auf einen kleinen Teilaspekt eingegangen, und werd mich ansonsten hier auch raushalten. Gruß zurück. Wink

14.10.2009, 15:26

D4K!ZZ4

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Hallo Leute,

Danke bisher für eure super Hilfe zu dem Thema.

Aber mir geht das noch nicht ganz in den Kopf rein.

So wie ich das sehe bestimmt ihr die Fälle zuerst bevor ihr alles invertiert und verrechnet. Unserer Lehrer hat auch was erzählt in die Richtung. Quasi erst die Fälle klären wo ich unterscheide.

Aber ich seh das einfach nicht woher die einzelnen unterscheidungen kommen.

Wenn ich den Therm wie oben habe: $\begin{eqnarray*} |x+2|-|x| \end{eqnarray*}$

Was kuck ich mir dann an um zu sehen aha das ist Fall 1,2 und 3.

Auf eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Danke nochmal für alles,

Gruß Chris

14.10.2009, 16:05

Kopfrechner

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> Wenn ich den Term wie oben habe: $\begin{eqnarray*} |x+2|-|x| \end{eqnarray*}$
> Was kuck ich mir dann an um zu sehen aha das ist Fall 1,2 und 3.

Hallo,

1.Blick: Für welche Werte xon x sind beide Terme x+2 und x positiv? Sicher für x>=0 => Betragsstriche weglassen ..

2. Blick: Für welche Werte xon x sind beide Terme x+2 und x negativ? Sicher für x<-2 => Betragsstriche weglassen und Terme invertieren ..

3.Blick: Für -2<x<0 ist der Term x+2>0, der Term x<0 => Betragsstriche bei x+2 weglassen, x invertieren ..

Auch die (Vor-)Überlegung, wie denn die (Teil-)Graphen von von |x| und |x+2| aussehen, hilft: |x+2| ist z.B. gegenüber |x| um 2 nach links verschoben.

Vollständig schematisieren läßt sich das Vorgehen nicht, dazu sond die Funktionen zu vielfältig.

Gruß, Kopfrechner

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