Lineare Abbildung: Erweiterungskörper -> Teilkörper

10.10.2009, 11:02	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung: Erweiterungskörper -> Teilkörper Hallo In meinem derzeitigen "Lieblingsbuch" steht folgender Satz: (Zuerst eine Vorbemerkung: Es ist $\begin{eqnarray} K:=\mathbb{F}_q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F:=\mathbb{F}_{q^m} \end{eqnarray}$ ) -- Sei $\begin{eqnarray} \beta\in K \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} L_\beta \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha\mapsto \text{Tr}_{F/K}(\beta\alpha) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} L_\beta\neq L_\gamma \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \beta\neq\gamma \end{eqnarray}$ . Ausserdem sind alle linearen Abbildungen von F nach K von der Form $\begin{eqnarray} L_\beta \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ über die verschiedenen Elemente des Körpers K iteriert. -- Der erste Teil ist mir klar; insbesondere ist die Linearität sehr schnell bewiesen und damit folgt auch die Ungleichheits-Aussage leicht. Beim zweiten Teil habe ich aber Zweifel, nachdem ich meine Überlegung mit der Beweisskizze im Buch verglichen hatte: Meine Überlegung: Die Basis von F als Vektorraum über K hat m Elemente. Der Körper K hat q Elemente. Damit kann ich q verschiedene Abbildungen konstruieren und mit diesen Abbildungen kann ich jeden Basisvektor von F auf q verschiedene Arten abbilden, was dann $\begin{eqnarray} q^m \end{eqnarray}$ kombinierte Abbildungen von F nach K gibt. Im Buch steht folgendes: -- Eine lineare Abbildung ist vollständig bestimmt durch ihre Wirkung auf eine Basis. In unserem Fall hat F eine Basis von m Elementen über dem Körper K. Also gibt es maximal $\begin{eqnarray} q^m \end{eqnarray}$ lineare Abbildungen von $\begin{eqnarray} F_{q^m} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} F_q \end{eqnarray}$ . bis hierher sind wir uns einig Nun ist aber $\begin{eqnarray} \{L_\beta \;\|\; \beta\in\mathbb{F}_{q^m}\} \end{eqnarray}$ eine Menge von $\begin{eqnarray} q^m \end{eqnarray}$ verschiedenen linearen Abbildungen, also sind dies alle linearen Abbildungen. -- Ich frage mich, ob hier vielleicht ein Druckfehler vorliegt, denn im Satz steht, dass $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ über die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_q \end{eqnarray}$ iteriert, während der Autor im Beweis plötzlich $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ über den ganzen erweiterten Körper wandern lässt. Was meint ihr? -- Wie immer: Dankeschön
12.10.2009, 10:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Phillipp, Etwas spät zwar, aber eine Antwort bekommst Du trotzdem noch. Hast Du in Deinem Beweis für $\begin{eqnarray} L_\beta\neq L_\gamma \end{eqnarray}$ denn irgendwo benötigt, dass $\begin{eqnarray} \beta,\gamma\in K \end{eqnarray}$ sind? Ich denke nicht, denn die Abbildung $\begin{eqnarray} L_\beta \end{eqnarray}$ ist auch für andere $\begin{eqnarray} \beta\in F \end{eqnarray}$ definiert. Damit ist dann auch das Argument aus dem Buch klar. Bei dieser Aufgabe liegt es auch nahe, sich mal ein Beispiel anzuschauen. Das einfachste ist hier natürlich $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2\subset \mathbb{F}_4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4=\{0,1,\alpha,\alpha+1\} \end{eqnarray}$ Man rechnet nach: $\begin{eqnarray} {\rm Tr}(0)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} {\rm Tr}(1)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} {\rm Tr}(\alpha)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {\rm Tr}(\alpha+1)=1 \end{eqnarray}$ Und damit sind die Bilder der Basis $\begin{eqnarray} \{1,\alpha\} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} L_0(1)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L_0(\alpha)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_1(1)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L_1(\alpha)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_\alpha(1)=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L_\alpha(\alpha)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L_{\alpha+1}(1)=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L_{\alpha+1}(\alpha)=0 \end{eqnarray}$ Voilà, alle linearen Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4\to\mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
12.10.2009, 14:45	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. In diesem Fall muss dann aber der Druckfehler im Satz selbst liegen, weil (wie dein Beispiel ja zeigt -- wieso habe ich eigentlich selbst keines gemacht? grml) das Durchlaufen der Elemente von K alleine noch gar nicht reicht, um alle linearen Abbildungen zu erhalten. EDIT: Insbesondere geht es nicht, die Abbildungen $\begin{eqnarray} L_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ passend zu kombinieren, so wie ich es mir vorgestellt hatte. Da $\begin{eqnarray} L_i(1)=0\quad\forall i\in\{0,1\} \end{eqnarray}$ , braucht es die Abbildung $\begin{eqnarray} L_\alpha \end{eqnarray}$ unbedingt. Deshalb gleich doppelt danke.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »