Dichte einer zusammengesetzten Zufallsvariablen

10.10.2009, 17:09

-Jens

Dichte einer zusammengesetzten Zufallsvariablen

Hallo zusammen,

habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht so ganz zurecht komme:

Zitat:

Die Verteilung des Zufallsvektors $\begin{eqnarray*} (X_1,X_2) \end{eqnarray*}$ besitze die Dichte:

$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=\begin{cases}\operatorname{e}^{-x_2} & \text{falls } x_1 > 0 \text{ und } x_2 > x_1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Dichte der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Z=\sqrt{X_1+X_2} \end{eqnarray*}$ .

Dafür habe ich den "Transformationssatz für Dichten" aus meinem Matheskript hergenommen:

Zitat:

Es gebe eine offene zusammenängende Menge $\begin{eqnarray*} M \subset R^n \end{eqnarray*}$ so, dass für die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ der Verteilung $\begin{eqnarray*} P^X \end{eqnarray*}$ und den Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} G : R^n \rightarrow R^n \end{eqnarray*}$ die nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:
1 . Für $\begin{eqnarray*} x \not\in M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f( x ) = 0 \end{eqnarray*}$
2. Die Komponenten $\begin{eqnarray*} G_j(x) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sind auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ stetig partiell differenzierbar und es ist $\begin{eqnarray*} J_G(x)\not=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ .
3. Ist $\begin{eqnarray*} M^* = G(M) = \{y \in R^n ; y = G(x) \text{ mit } x \in M\} \end{eqnarray*}$ das Bild der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , so ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} G : M \rightarrow M^* \end{eqnarray*}$ bijektiv mit der Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} G^* : M^* \rightarrow M \end{eqnarray*}$ .
Dann besitzt die Verteilung $\begin{eqnarray*} P^G \end{eqnarray*}$ des Zufallsvektors $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die Dichte

$\begin{eqnarray*} g(y)=\begin{cases} f(G^*(y))\cdot \frac{1}{\left|J_G(G^*(y))\right|} & \text{falls } y \in M^* \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich definiere mir einen Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} Y=(Y_1,Y_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Y_1=Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_2=X_2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M=\left\{ (x_1,x_2) \in R^2, x_1>0,x_2>x_1 \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(x_1,x_2)=\left( \begin{matrix} \sqrt{x_1+x_2} \\ x_2 \end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} J_G(x_1,x_2)=\left|\begin{matrix} \frac{1}{2\sqrt{x_1+x_2}} & \frac{1}{2\sqrt{x_1+x_2}} \\ 0 & 1 \end{matrix}\right|=\frac{1}{2\sqrt{x_1+x_2}}\not=0 \quad \forall (x_1,x_2) \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2=x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_1=\sqrt{x_1+x_2} \Leftrightarrow y_1^2=x_1+x_2 \Leftrightarrow x_1=y_1^2-y_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow G^*(y_1,y_2)=\left( \begin{matrix} y_1^2-y_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow J_G(G^*(y_1,y_2))=\frac{1}{2y_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(y_1,y_2)=\begin{cases} 2y_1\cdot \operatorname{e}^{-y_2} & \text{falls } (y_1,y_2) \in M^* \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Aber wie bestimme ich die Menge $\begin{eqnarray*} M^* \end{eqnarray*}$ ?

Die Dichte von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist dann die 1. Marginaldichte von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f_Z(y_1)=\int\limits_a^b g(y_1,y_2) \operatorname{d}\!y_2 \end{eqnarray*}$ ,

aber wie muss ich die Grenzen des Integrals wählen?

Grüße,
Jens

EDIT: Ups, gerade gesehen, dass ich in "Schulmathematik" gepostet habe, ich bitte einen Moderator, nach "Hochschulmathematik" zu verschieben!

10.10.2009, 19:18

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$\begin{eqnarray*} M^* = G(M) \end{eqnarray*}$ heißt wegen der Bijektivität von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} M = G^*(M^*) \end{eqnarray*}$ . Mit

$\begin{eqnarray*} G^*(y_1,y_2) = \begin{pmatrix} y_1^2-y_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bedeutet $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2)\in M^* \end{eqnarray*}$ folglich $\begin{eqnarray*} G^*(y_1,y_2)\in M \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y_2 > y_1^2-y_2 > 0 \end{eqnarray*}$ und zusätzlich $\begin{eqnarray*} y_1 > 0 \end{eqnarray*}$ (weil die Wurzel $\begin{eqnarray*} y_1 = \sqrt{x_1+x_2} \end{eqnarray*}$ immer positiv ist). Zu festem $\begin{eqnarray*} y_1 > 0 \end{eqnarray*}$ kann man diese Doppelungleichung zu $\begin{eqnarray*} \frac{y_1^2}{2} < y_2 < y_1^2 \end{eqnarray*}$ umformen, also der Bereich zwischen zwei (Halb-)Parabeln:

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