Vollständige Induktion

10.10.2009, 17:33

xiri

Vollständige Induktion

Irgendwie komm ich bei diesen 2 Beispielen nicht weiter...... ich probier da schon ewig rum aber ich es geht einfach nicht unglücklich

vllt. kann mir jemand helfen smile

irgendwie passt da nichts zusammen unglücklich

.........

1. Beispiel

für n€N

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac {1}{3}n(n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

1. Basis

n=1
$\begin{eqnarray*} 1(1+1)=\frac {1}{3} * 6 = 2 \end{eqnarray*}$

2. Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac {1}{3}n(n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

3. Behauptung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\frac {1}{3}(n+1)(n+2)(n+3) \end{eqnarray*}$

4. Schritt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k(k+1)=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)+(n+1)(n+2)=\frac {n(n+1)(n+2)}{3}+\frac{(n+1)(n+2)}{1}<br /> =\frac {n(n+1)(n+2)(3n+3)(3n+6)}{3} \end{eqnarray*}$

2. Beispiel

auch für n€N

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{n-1}(2n+1)) \end{eqnarray*}$

1. Basis
n=1

$\begin{eqnarray*} (-1)^{0}*1=\frac{1}{4}(1+(-1)^{0}(3))<br /> 1=\frac{1}{4}*4=1 \end{eqnarray*}$

2. Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{(n-1)}(2n+1)) \end{eqnarray*}$

3. Behauptung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{(k-1)}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{n}(2n+2)) \end{eqnarray*}$

4. Schritt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}k=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{(k-1)}k+(-1)^{n}(n+1)=(-1)^{n}(n+1)+\frac{(1+(-1)^{(n-1)}(2n+1))}{4}= \end{eqnarray*}$

10.10.2009, 18:04

Felix

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Zu 1) warum multiplizierst du den die Zähler ganz am Schluss ??

Zu 2) hier musst du eigentlich nur noch auf den gleichen Nenner bringen und addieren ...

10.10.2009, 18:20

xiri

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ahja hab mich verschrieben bei 1) .. hab aufm zettel natürlich addiert - also

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)+(3n+3)(3n+6)}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{10n²+29n+20}{3} \end{eqnarray*}$
kann doch auch nid stimmen...

und bei 2)

probier ich noch rum..

irgendwie kann ich nicht mehr rechnen -___-"

10.10.2009, 20:28

xiri

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zu 2) also auf gleichen nenner bringen und ausaddieren

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n}(n+1)+\frac {1+(-1)^{n-1}(2n+1)}{4}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac {4^{n}(n+4)+(1(-1)^{n-1}(2n+1))}{4}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac {4n^{n}+16n+1+2n^{n-1}+1^{n-1}}{4} \end{eqnarray*}$

ich bekomm schon alle zustände...... irgendwie schaff ich das nicht böse

und schulmathematik liegt schon so lange zurück...

und habt ihr zum ersten beispiel noch einen hinweis? ich will es schon selber rechnen nur brauch ich irgendwie mehrere denkanstöße :S

10.10.2009, 22:56

xiri

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ok das erste hab ich mittlerweile gelöst smile

beim zweiten hab ich schon einen fehler bei der behauptung gefunden - nur komm ich trotzdem nicht aufs richtige hin

ich schreib nochmal hin wie weit ich beim zweiten beispiel bin

Man zeige für alle n€N:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}=(-1)^{k-1}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{n-1}(2n+1)) \end{eqnarray*}$

1. n=1
.. 1=1 Wahr

2.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}=(-1)^{k-1}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{n-1}(2n+1)) \end{eqnarray*}$

3.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}=(-1)^{k-1}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{n}(2n+3)) \end{eqnarray*}$

4.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}=(-1)^{k-1}=\sum_{k=1}^{n}=(-1)^{k-1}k+(-1)^{n}+(n+1)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(1+(-1)^{n-1}(2n+1))+(-1)^{n}+(n+1)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2n^{n}+1^{n}}{4}+(n^{n+1})+(1^{n+1})= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2n^{n}+1^{n}+(4(n^{n+1})+(1^{n+1})}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+2n^{n}+1^{n}+4n^{n+1}+4^{n+1}}{4} \end{eqnarray*}$

und hier steh ich an :|

10.10.2009, 23:41

Draos

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Erstmal 1. Aufgabe:

Zitat:

Original von xiri
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)+(3n+3)(3n+6)}{3} \end{eqnarray*}$

Klammer mal beim rechten Summanden im Zähler die 3-en aus. Du hast den Teil mit 9 multipliziert. Aber lass es doch so:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)+3*(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$

Ausklammern von $\begin{eqnarray*} (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3) \end{eqnarray*}$

2.

Zitat:

Original von xiri

3. Behauptung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{(k-1)}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{n}(2n+2)) \end{eqnarray*}$

So wie ich, dass verstehe setzt du in der Behauptung für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ein.

Was ist denn? $\begin{eqnarray*} 2*(n+1)+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{(k-1)}k=\frac{1}{4}(1+(-1)^{n}(2n+3)) \end{eqnarray*}$

10.10.2009, 23:47

Draos

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RE: Vollständige Induktion
Hab zu schnell gescrollt. Gott

Haste ja schon.

Zitat:

Original von xiri
4.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}=(-1)^{k-1}=\sum_{k=1}^{n}=(-1)^{k-1}k+(-1)^{n}+(n+1)= \end{eqnarray*}$

Da sind sehr viele Fehler drinne.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}k=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k+(-1)^{n}(n+1)= \end{eqnarray*}$

Göhn dir vllt ne Pause

11.10.2009, 00:13

Draos

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$\begin{eqnarray*} \frac{(1+(-1)^{n-1}(2n+1))+4(-1)^{n}(n+1)}{4}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-2n(-1)^{n}-(-1)^{n}+4n(-1)^{n}+4(-1)^{n})}{4}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+2n(-1)^{n}+3(-1)^{n})}{4}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+(-1)^{n}(2n+3))}{4}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(1+(-1)^{n}(2n+3)) \end{eqnarray*}$

Eher so...

11.10.2009, 00:31

xiri

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ahja vielen dank .. smile

nur würd ichs auch gerne bissl verstehen Big Laugh

ich versteh nicht wie man vom ersten aufs zweite kommt.. vom zweiten aufs dritte und vom dritten aufs vierte ist mir klar ..

also ich spreche von dem hier

$\begin{eqnarray*} \frac {1+(-1)^{n-1}(2n+1))+4(-1)^{n}(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \frac {(1-2n(-1)^{n}-(-1)^{n}+4n(-1)^{n}+4(-1)^{n})}{4} \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 00:44

Draos

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Wie schon mein Lehrer immer sagte, ich arbeite zu sprunghaft Augenzwinkern

Potenzregel: $\begin{eqnarray*} a^{b+c}=a^b*a^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1+(-1)^{n-1}(2n+1)+4(-1)^{n}(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1+(-1)\cdot (-1)^{n}(2n+1)+4(-1)^{n}(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1-(-1)^{n}(2n+1)+4(-1)^{n}(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} x=(-1)^n \end{eqnarray*}$ . (Schreibfaul Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} \frac {1-x(2n+1)+4 x(n+1)}{4} \end{eqnarray*}$
Ausklammern des Zählers:
II': $\begin{eqnarray*} \frac {1-2nx-x+4nx+4x}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=(-1)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac {(1-2n(-1)^{n}-(-1)^{n}+4n(-1)^{n}+4(-1)^{n})}{4} \end{eqnarray*}$

Und weiter aber mit den x wegen Schreibfaul.

II': $\begin{eqnarray*} \frac {1-2nx-x+4nx+4x}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1+2nx+3x}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1+x(2n+3)}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=(-1)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {1+(-1)^n(2n+3)}{4} \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 01:17

xiri

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hmmmm vielen dank erstmal - aber frage (mal wieder.. )

da steht $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$

sollte man da nicht die potenzregel verwenden: $\begin{eqnarray*} a^{b-c}=\frac {a^{b}}{a^{c}} \end{eqnarray*}$

sprich $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1}=\frac {(-1)^{n}}{(-1)^{-1}} \end{eqnarray*}$

rest ist klar - nur hier steh ich wieder mal auf der leitung :/

wie du da auf $\begin{eqnarray*} (-1)*(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ kommst ist mir ein rätsel

11.10.2009, 01:36

tigerbine

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1. Potenzregel richtig machen

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1} = \frac{(-1)^n}{(-1)^{1}} = (-1)^{-1} \cdot (-1)^n \end{eqnarray*}$

2. Das Besondere erkennen

$\begin{eqnarray*} (-1)^{-1} = \frac{1}{-1} = - \frac{1}{1} = -1 \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 01:39

xiri

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jawohl vielen vielen dank ... jetzt kapier ichs Big Laugh

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