Welche der folgenden Mengen sind Unterräume?

10.10.2009, 17:43

smiiile

Welche der folgenden Mengen sind Unterräume?

Hallo,
ich hänge gerade bei folgender Aufgabe:

[attach]11436[/attach]

Ich weiß, dass ein Unterraum so definiert ist, dass er bezüglich Addition zweier Elemete aus dem VR und Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen ist. Zudem muss er alle Axiome eines Vektorraumes erfüllen und eben ein Teilraum des Vektorraumes hier $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ sein.

Ich hätte jetzt einmal gesagt a) nein. Da verwirrt mich zum einen, dass vorne x und y doppelt drin stehen... Aber macht das einen Unterschied für Unterräume?
Wobei die reellen Zahlen ja alle Eigenschaften eines Unterraumes erfüllen.

b) ja
c)ja
d) ja
e) nein. Da stört mich wieder, dass da vorne zweimal x vorkommt..

Wobei das eigentlich alles eher nach Gefühl gelöst ist.

Wie komme ich denn hier weniger mit raten auf die Lösung. Und was sind z.B. Indizes, dass ein angegebener Raum kein Unterraum ist?

Würde mich über Hinweise freuen.
Gruß,
smiiile

10.10.2009, 17:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von smiiile
Ich weiß, dass ein Unterraum so definiert ist, dass er bezüglich Addition zweier Elemete aus dem VR und Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen ist. Zudem muss er alle Axiome eines Vektorraumes erfüllen

Wenn die ersten beiden Eigenschaften erfüllt sind (für eine nichtleere Menge), dann ist sie automatisch schon ein Vektorraum.

Wenn du nun also die Definition kennst, warum überprüfst du sie nicht einfach anhand der Mengen? Dann wirst du sehen, dass du nur einmal richtig geantwortet hast.

10.10.2009, 18:19

smiiile

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Danke für den Tipp,

das heißt, Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar reichen aus, um zu erkennen, ob ein Vektorraum vorliegt? Hast du das mit den ersten beiden Eigenschaften gemeint?

Das ist ja viel schneller nachzuprüfen, als alle Axiome eines Vektorraums einzeln zu untersuchen.

ok, ich fange mal bei b) an

b) nein, denn wenn ich z.B. x_1 mit einem Skalar multipliziere, ist die Gleichheit die hinten gefordert wird, nicht mehr unbedingt gegeben.

ebenso:
c) nein
d) nein (jeweils aus dem gleichen Grund)

Dann zu a) wenn ich x mit y addiere, bleibe ich immer noch in den reellen Zahlen, auch wenn ich sie mit einem Skalar multipliziere. Also würde ich hier sagen: ja.

eben so bei e) ja.
Wobei ich jetzt genau alle Antworten umgedreht habe Augenzwinkern

Also ist noch eine falsch...

Ich nehme an es ist a oder e, denn hier stört mich jeweils, dass da Elemente vorne doppelt vorkommen. Da kann ich noch nicht so wirklich was damit anfangen. Hat das Auswirkungen auf den Vektorraum?
a und e unterscheiden sich ja nur durch das -y...
wahrscheinlich ist dann e) falsch, weil das -y nicht hinter dem Strich erwähnt wird..

Ich bin mir aber immer noch unsicher..
also: Zusammenfassung:
a) ja
b) nein
c) nein
d) nein
e) nein

10.10.2009, 18:47

Mathespezialschüler

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Hm, leider ist so ziemlich alles, was du sagst, falsch. Fangen wir erstmal mit dem Richtigen an:

Zitat:

Original von smiiile
das heißt, Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar reichen aus, um zu erkennen, ob ein Vektorraum vorliegt? Hast du das mit den ersten beiden Eigenschaften gemeint?

Ja, für Untervektorräume schon. Außerdem muss die Menge noch nichtleer sein. Oder man überprüft, ob der Nullvektor drin liegt.

Zitat:

Original von smiiile
b) nein, denn wenn ich z.B. x_1 mit einem Skalar multipliziere, ist die Gleichheit die hinten gefordert wird, nicht mehr unbedingt gegeben.

Du darfst natürlich nicht nur eine Komponente mit einem Skalar multiplizieren. Die skalare Multiplikation eines Skalar mit einem Vektor läuft so, dass du alle Komponenten mit diesem Skalar multiplizieren musst.

Deine Begründungen für c) und d) sind also auch falsch.

Auch bei a) und e) sind deine Begründungen schwammig und scheinen eher falsch zu sein.

Nochmal der Apell: Nimm dir Definition her und rechne sie nach, ohne dir nur die Rechnung vorzustellen.

10.10.2009, 19:17

smiiile

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ach, jetzt habe ich erst verstanden, was da wirklich steht. Das vorne ist ein Vektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ x \\y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für den gilt x und y sind aus den reellen Zahlen..
Warum steht da nirgends ein T für transponiert, wenn der Vektor schon in einer Zeile geschreiben ist... das hat mich ziemlich verwirrt.

ok, also erstmal zur a)
Der Nullvektor liegt drin für x=0 und y=0 , somit ist die Menge nicht leer.

Außerdem gilt: ( für lambda aus den reellen Zahlen)
$\begin{eqnarray*} \lambda (\begin{pmatrix} x\\ y \\ x \\y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} \lambda *x\\ \lambda * y \\ \lambda *x \\ \lambda *y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was wiederum in den reellen Zahen liegt, da jeder einzelne Komponent in den reellen Zahlen liegt.

Dann muss ich noch die Abgeschlossenheit der Addition überprüfen:

also wähle ich einmal beliebige a,b,c,d aus den reellen Zahlen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ x \\y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\ b \\ c \\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+a\\ y+b \\ x+c \\y+d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei wiederum jeder einzelne Komponent und somit auch der gesamte Vektor in den reellen Zahen liegt.

Also ist a) ein UVR von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ da nichtleer und abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation mit einem Skalar.

Habe ich das für die a) so richtig nachgerechnet?

Und für die anderen Beispiele muss ich das einfach ebenso überprüfen...

10.10.2009, 19:26

Mathespezialschüler

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Nein, leider nicht.

Zunächst ist es egal, ob man Vektoren als Spalten oder Zeilen schreibt.

Dann sind Vektoren keine reellen Zahlen, sondern Tupel solcher. Du musst doch überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \lambda\begin{pmatrix} x \\ y \\ x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wieder von der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ v \\ u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ ist (wie die heißen, ist egal - Namen sind Schall und Rauch!). Und das ist tatsächlich der Fall, denn das gilt ja mit $\begin{eqnarray*} u:=\lambda x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v:=\lambda y \end{eqnarray*}$ .

Als nächstes musst du zwei Elemente aus der Menge nehmen und sie addieren. Was du also mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ möchtest, verstehe ich nicht so ganz. Der zweite Vektor muss ja auch so eine Form haben wie der erste und du musst überprüfen, ob das für die Summe auch gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ b \\ a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ x+a \\ y+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} u:=x+a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v:=y+b \end{eqnarray*}$ sieht man nun, dass der Vektor auch von der gewünschten Form ist und damit in der Menge liegt.

Alternativ kann man übrigens auch einfach feststellen, dass

$\begin{eqnarray*} \left\{\left.\begin{pmatrix} x \\ y \\ x \\ y \end{pmatrix}\ \right|\ x,y\in\mathbb R^4\right\}=\left\{\left. x\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\ \right|\ x,y\in\mathbb R^4\right\} \end{eqnarray*}$

gilt und das ist offenbar der von den beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannte Untervektorraum, also ist es mit dieser Feststellung sofort klar, dass es ein Untervektorraum ist.

10.10.2009, 19:44

smiiile

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Danke für die ausführliche Antwort. Ich habe das noch nie so nachgerechnet, deshalb tue ich mich hier noch etwas schwer. Dann ist also a) ein UVR.

Für e) kann ich genau die gleiche Argumentation verwenden:

$\begin{eqnarray*} \lambda\begin{pmatrix} x \\ -y \\ x \\ y \end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix} \lambda *x \\ -(\lambda* y) \\ \lambda * x \\ \lambda *y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist also von der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ -v \\ u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit reellen Zahlen u:= $\begin{eqnarray*} \lambda *x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v:= \lambda*y \end{eqnarray*}$

Jetzt ist noch zu überprüfen ob gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ -y \\ x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ -b \\ a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+a \\ -(y+b) \\ x+a \\ y+b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Mit $\begin{eqnarray*} u:=x+a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v:=y+b \end{eqnarray*}$ ist dies also gleich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ -v \\ u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zudem ist der UVR nicht leer, da der Nullvektor für x=0 und y=0 in der Menge liegt (-0 ist ja gleich 0 )

Also ist auch e) ein UVR von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .

so, ich hoffe das stimmt jetzt... was sagst du dazu?
Wenn das stimmt, mache ich mich noch an b)-d) smile

10.10.2009, 19:47

Mathespezialschüler

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Ja, das stimmt jetzt. Freude

10.10.2009, 20:07

smiiile

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ok, super

Dann mach ich doch gleich mal mit der b) weiter.

Da hab ich mir gedacht, ich könnte ja die Bedingung jeweils nach den einzelnen Koordinaten auflösen und dann einsetzen.

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2 =5x_3 +x_4 \end{eqnarray*}$
Aufgelöst ergibt das

$\begin{eqnarray*} x_1= \frac{5x_3 +x_4-x_2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=5x_3 +x_4 -2x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3= \frac{2x_1+x_2-x_4}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4=2x_1+x_2-5x_3 \end{eqnarray*}$

Dann gilt ja
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5x_3 +x_4-x_2}{2} \\ 5x_3 +x_4 -2x_1 \\ \frac{2x_1+x_2-x_4}{5} \\ 2x_1+x_2-5x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sieht ja ziemlich kompliziert aus...
naja, erste Bedingung war ja, dass der Nullvektor enthalten ist. Also wenn ich $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3, x_4 \end{eqnarray*}$ so setze, erhalte ich den Nullvektor... Der ist also drin.

Oder ich forme die Anfangsbedingung um zu:
$\begin{eqnarray*} 2x_1 +x_2-5x_3-x_4=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die zweite Bedingung überprüfe, also die mit der skalaren Multiplikation, reicht es dann das zu schreiben? (mich stört etwas, dass diese langen Zahlenkette ja eigentlich =0 sind... auf diese Weise habe ich ja gerade gezeigt, dass der Nullvektor drinliegt, deshalb bin ich mir nicht sicher ob ich das so richtig mache...)

$\begin{eqnarray*} \lambda * (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} \lambda * x_1 \\ \lambda *x_2 \\ \lambda *x_3 \\ \lambda *x_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda * \frac{5x_3 +x_4-x_2}{2} \\ \lambda *( 5x_3 +x_4 -2x_1) \\ \lambda *\frac{2x_1+x_2-x_4}{5} \\ \lambda *(2x_1+x_2-5x_3)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dies sind wieder neue $\begin{eqnarray*} y_1, y_2, y_3, y_4 \end{eqnarray*}$ aus den reellen Zahlen mit

$\begin{eqnarray*} y_1= \lambda * \frac{5x_3 +x_4-x_2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=\lambda *( 5x_3 +x_4 -2x_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3=\lambda *\frac{2x_1+x_2-x_4}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_4= \lambda *(2x_1+x_2-5x_3) \end{eqnarray*}$

Also wären bis jetzt die ersten zwei Voraussetzungen für einen UVR erfüllt und ich muss nur noch die Abgeschlossenheit der Addition untersuchen.
Ist das so ok bis jetzt, oder stimmt etwas nicht?

12.10.2009, 23:01

Mathespezialschüler

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Diese Umstellung ist nicht sinnvoll, da du dabei viermal die gleiche Information verarbeitest und das nicht einmal etwas bringt. Prüfe doch einfach nach: Liegt der Nullvektor in der Menge, d.h. gilt

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 0+0=5\cdot 0+0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3,x_4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2,y_3,y_4) \end{eqnarray*}$ in der Menge liegen, d.h. obige Gleichung erfüllen, erfüllt dann auch $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4) \end{eqnarray*}$ die Gleichung? Entsprechend mit Vielfachen.

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