Unterschied: Basis - geordnete Basis

10.10.2009, 18:26	Sonnenschein1	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied: Basis - geordnete Basis Hallo, was ist denn der Unterschied zwischen einer Basis und einer geordneten Basis? Wir haben eine geordnete Basis so definiert: " Eine geordnete Basis von V ist eine Basis B zusammen mit einer vollständigen Ordnung auf B (Existenz durch den Wohlordnungssatz). Im folgenden meinen wir mit "Basis" immer eine geordnete Basis." Unter einer Basis verstehe ich ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Also eine Menge von Vektoren beispielsweise, die den Raum aufspannen. Und eben das kleinstmögliche Erzeugendensystem. Damit ist es linear unabhängig und die Darstellung eines Elements durch die Basis ist eindeutig. Wohlordnung bedeutet ja, dass es ein kleinstes Element in dieser Menge gibt. Bedeutet geordnete Basis dann, dass die Elemente in der Basis selbst (von klein nach groß) geordnet sind und dass an sich eine Basis und eine geordnete Basis dieselben Elemente enthalten? Oder gibt es noch einen anderen Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen? Gruß, Sonnenschein1
10.10.2009, 18:33	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Um es intuitiv zu sagen: Nehmen wir den $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit der Standardbasis $\begin{eqnarray} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray}$ . Dann ist die Menge $\begin{eqnarray} \{e_1,e_2,e_3\} \end{eqnarray}$ klar eine Basis. Aber wie soll man sie anordnen? Man könnte zb. $\begin{eqnarray} (e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray}$ nehmen (hier ist runde Klammer diejenige für geordnete Basis). Oder auch $\begin{eqnarray} (e_2,e_1,e_3) \end{eqnarray}$ . Das hat nur auswirkungen auf die Reihenfolge der Koordinaten der Punkte. Nehmen wir den Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , der die Koordinaten $\begin{eqnarray} p=(1,2,3) \end{eqnarray}$ hat bzgl. $\begin{eqnarray} (e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray}$ . Dann hat $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die Koordinaten $\begin{eqnarray} (2,1,3) \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} (e_2,e_1,e_3) \end{eqnarray}$ .
10.10.2009, 19:28	Sonnenschein1	Auf diesen Beitrag antworten »
ach soo. Ich fasse das jetzt nochmals in meinen Worten zusammen: Bei einer Basis ist es also nur wichtig, welche Elemente darin stehen und nicht in welcher Reihenfolge. Damit man aber eindeutig rechnen kann (und z.B. auch seine Ergebnisse besser vergleichen kann) sagt man, wir nehmen z.B. $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ als erstes Element, $\begin{eqnarray} e_2 \end{eqnarray}$ als zweites Element und $\begin{eqnarray} e_3 \end{eqnarray}$ als drittes Element und schon haben wir eine geordnete Basis, bei der eindeutig die Reihenfolge der Elemente festgelegt ist. Wie ich diese Reihenfolge wähle, bleibt mir aber selbst überlassen. Es ist ja $\begin{eqnarray} \{ x^2, x^3, 1,x\} \end{eqnarray}$ eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Grad gleiner gleich 3. eine geordnete Basis wäre dann z.B. $\begin{eqnarray} (1, x, x^2, x^3) \end{eqnarray}$ Es ist also sinnvoll mit geordneten Basen zu arbeiten, und sich auch ein wenig an Konventionen zu halten, da dann alles übersichtlicher und besser zu vergleichen ist. Vielen Dank
10.10.2009, 19:44	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Na auch die Basis $\begin{eqnarray} (X^2,X^3,1,X) \end{eqnarray}$ ist eine geordnete Basis. Nehmen wir mal das Polynom $\begin{eqnarray} f(X)=X^3+2X^2+3X+4 \end{eqnarray}$ . Es hat die Darstellung $\begin{eqnarray} f(X)=1\cdot X^3+2\cdot X^2+3\cdot X+4\cdot1 \end{eqnarray}$ Also hat es die Koordinaten: $\begin{eqnarray} (1,2,3,4) \end{eqnarray}$ bzgl der Basis $\begin{eqnarray} (X^3,X^2,X,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2,1,3,4 \end{eqnarray}$ bzgl der Basis $\begin{eqnarray} (X^2,X^3,X,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (4,3,2,1) \end{eqnarray}$ bzgl der Basis $\begin{eqnarray} (1,X,X^2,X^3) \end{eqnarray}$
10.10.2009, 19:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch einen inhaltlich-mathematischen Grund, geordnete Basen zu betrachten. Abgesehen davon, dass man wegen der Koordinatenreihenfolge sowieso immer mit geordneten Basen rechnen sollte, wäre es ohne eine festgelegte Reihenfolge in Basen nicht möglich, von Orientierungen zu sprechen.
10.10.2009, 20:25	Sonnenschein1	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich habe das etwas unglücklich formuliert, aber schon auch so verstanden, wie du es geschrieben hast. also nochmals ^^ ich habe die Basis $\begin{eqnarray} \{ x^2, x^3, 1,x\} \end{eqnarray}$ und habe 24 Möglichkeiten sie als geordnete Basis darzustellen (wenn ich das richtig berechnet habe ) Und je nachdem welche geordnete Basis ich wähle, werden auch die Koordinaten bzgl. der Basis nachher unterschiedlich aussehen. Von Orientierungen habe ich bis jetzt allerdings noch nicht gehört. Wikipedia sagt: In einem n-dimensionalen Raum haben Basen gleiche Orientierung, wenn sie durch lineare Abbildungen mit positiver Determinante (zum Beispiel Streckungen und Drehungen) auseinander hervorgehen. Naja, ich kann mir da noch nicht wirklich was drunter vorstellen... kann man das als Mathematikanfänger schon verstehen?
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12.10.2009, 23:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst dir unter den Orientierungen auch erstmal nichts vorstellen. Ich wollte nur sagen, dass es später doch noch wichtig wird. Z.B. erzeugt ein Rechte-Hand-System eine andere Orientierung als ein Linke-Hand-System, jeweils im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ .
12.10.2009, 23:40	Sonnenschein1	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich kenne aus der Physik die rechte bzw. Linke-Hand-Regel. Und auch anschaulich sieht ein Rechte-Hand-System dann wohl anders aus als ein Linke-Hand-System. Also kann ich mir so ungefähr etwas drunter vorstellen. Aber ich merks mir für später

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