Lineare Abbildungen

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Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen
Hallo!

Ich habe eine grundsätzliche Frage: Was ist jeweils zu zeigen, dass eine Abbildung linear ist?

Also sei beispielsweise
f: R^3 --> R^2,

Was und wie muss ich zeigen, um zu beweisen, dass die Abbildung linear (oder eben nicht) ist?

(ich habe noch nie eine solche Aufgabe gelöst, deshalb meine grundsätzliche Frage)
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Bedingungen der Definition nachweisen:
Zeige für alle und für alle und alle .
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent und für alle und alle .

Er meint hier:
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Also würde das konkret zu diesem Beispiel heissen:

f(x + y) = f(x) + f(y) = x + y

[wie würde es mit dem z aussehen?]

f(1 * x) = 1 * f(x) = x

?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
f wird doch auf Vektoren angewendet.
Zum Beispiel könntest du und setzen.
Was ist dann ? Was ist ? Und was ist ?
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann wäre und ?

sprich:
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider nicht.
Schau doch einmal was die Abbildungsvorschrift von f ist. Insbesondere gibt es bei v und w doch überhaupt kein x,y,z mehr. Das musst du mit den entsprechenden Werten aus den Vektoren ersetzen.

Beachte dass f in einen 2-dimensionalen Vektorraum abbildet, deine Bilder sind aber noch 3-dimensional?!
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Also..ich habe nun einige andere (leider nicht sehr ähnliche) Beispiele angeschaut, und würde zu folgender Lösung kommen:

(a Element in R)

- f(a * (x, y, z)) = f((ax, ay, az)) = ax, ay, az = a(x, y, z) = af(x,y,z)

- f(x, y, z) + (r,s,t) = f((x + r, y + s, z+t)) = (x,r) + (y,s) +(z,t) = (x, y, z) + (r, s,t) = f((x,y,z)) + f((r,s,t))

..stimmt das so?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Hast du meinen Beitrag überhaupt gelesen?
f bildet einen 3-Tupel auf einen 2-Tupel ab!

So ist .
Verstehe genau warum und mache erst dann weiter.
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, aber mein Problem ist, dass ich sowas noch nie gesehen habe, und mir auch nicht vorstellen kann, wie es aussehen sollte - deshalb wäre ich froh, wenn du es mir wenigstens für dieses Beispiel zeigen könntest..bitte! smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Alles was die Abbildung macht ist aus nem 3-Tupel ein 2-Tupel in dem die unterste Komponente einfach "vergessen" wird. Wie das für f(v) aussieht habe ich bereits geschrieben. Was ist dann f(w)?
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Okay was ist dann f(v)+f(w)?
Und was ist v+w?
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »



und

(v + w) = (v_1 + w_1) , (v_2 + w_2)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

f(v+w) stimmt. Wie du das allerdings bestimmt hast wenn ist mir unklar, immerhin hast du v+w falsch berechnet Big Laugh

Stimmt jetzt f(v+w) überein mit f(v)+f(w)?
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre denn (v + w) richtig? [..ist aber nicht notwendig für die Aufgabe, oder? :S ]

Ja, f(v + w) und f(v) + f(w) stimmen überein.
Ist es aber nicht immer so, dass die überein stimmen müssen? [hättest du evtl ein Gegenbeispiel?]
..oder ist das genau das Kriterium, ob es sich um Linearität handelt, oder nicht?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

.

Natürlich stimmen die nicht immer überein. Sei zum Beispiel .
Dann ist .

Das ist gerade Bedingung dafür dass f linear ist.

Jetzt muss man das noch für Skalare zeigen:
muss nachgerechnet werden
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Okey - evtl werde ich zu einem späteren Zeitpunkt dann noch eine Frage haben bezgl. deinem Gegenbeispiel (..sobald ich wahrscheinlich auf eine nicht-lineare Abbildung treffe..)


..stimmt also auch überein, das heisst, es handelt sich hier um eine lineare Abbildung.

Richtig? smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja smile
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Super! smile

Eine Kontrollfrage, ob ich es richtig mache und auch richtig verstanden habe:
Sei g: R^3 --> R^3,

Dann ist: und

..das stimmt so, nicht wahr?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das heisst, hier handelt es sich ebenfalls um eine lineare Abbildung.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich nicht. Das ist doch nahezu dasselbe Beispiel wie meines für eine nicht-lineare Abbildung.

Wie kommst du zum Schluss dass es linear ist? Wie hast du g(v+w)=g(v)+g(w) gezeigt?!
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch:


Die x- und z-Werte sind ja klar, und für die y-Werte ist doch: (v_2 - 1) + (w_2 - 1) = (v_2 + w_2 - 2) , also so wie bei g(v + w) ...

Wo und was habe ich falsch gemacht?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung schickt die 2. Komponenten y auf y-1.
Die zweite Komponente ist hier .
Auf was wird das also abgebildet?!
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Das heisst also:
was dann natürlich offensichtlich nicht mehr mit g(v) + g(w) übereinstimmen würde, ergo also nicht linear sein kann.
Richtig so?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

hihi lustig, man darf nicht zweimal dasselbe in einem Thema schreiben. Trotzdem:
Ja
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Hihi smile

Zur Kontrolle eine andere Aufgabe:

R^2 --> R^2 ,

ist eine lineare Abbildung. (oder?) smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die ist wieder linear.
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine letzte Kontrollaufgabe:

R^2 --> R,

Diese Abbildung ist wieder linear.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die ist nicht linear. Versuch mal zu zeigen , das geht nicht.
Ramseier Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar - hab den falschen Vektor genommen --> die Abbildung ist ganz offensichtlich nicht linear.
Vielen Dank euch allen! smile
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