Lineare Abbildungen

10.10.2009, 18:33

Ramseier

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Lineare Abbildungen

Hallo!

Ich habe eine grundsätzliche Frage: Was ist jeweils zu zeigen, dass eine Abbildung linear ist?

Also sei beispielsweise
f: R^3 --> R^2, $\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was und wie muss ich zeigen, um zu beweisen, dass die Abbildung linear (oder eben nicht) ist?

(ich habe noch nie eine solche Aufgabe gelöst, deshalb meine grundsätzliche Frage)

10.10.2009, 18:35

system-agent

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Du musst die Bedingungen der Definition nachweisen:
Zeige $\begin{eqnarray*} f(v+w)=f(v)+f(w) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(a\cdot v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

10.10.2009, 18:42

kiste

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Zitat:

Original von system-agent und $\begin{eqnarray*} f(a\cdot v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Er meint hier: $\begin{eqnarray*} f(a\cdot v) = af(v) \end{eqnarray*}$

10.10.2009, 19:25

Ramseier

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Also würde das konkret zu diesem Beispiel heissen:

f(x + y) = f(x) + f(y) = x + y

[wie würde es mit dem z aussehen?]

f(1 * x) = 1 * f(x) = x

?

10.10.2009, 19:30

kiste

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Nein.
f wird doch auf Vektoren angewendet.
Zum Beispiel könntest du $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=\begin{pmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ setzen.
Was ist dann $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ ? Was ist $\begin{eqnarray*} f(w) \end{eqnarray*}$ ? Und was ist $\begin{eqnarray*} f(v+w) \end{eqnarray*}$ ?

10.10.2009, 19:51

Ramseier

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Achso, dann wäre $\begin{eqnarray*} f(v) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(w) = \begin{pmatrix} x \\ y \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

sprich: $\begin{eqnarray*} f(v + w) = \begin{pmatrix} x + x \\ y+y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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10.10.2009, 20:01

kiste

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Nein, leider nicht.
Schau doch einmal was die Abbildungsvorschrift von f ist. Insbesondere gibt es bei v und w doch überhaupt kein x,y,z mehr. Das musst du mit den entsprechenden Werten aus den Vektoren ersetzen.

Beachte dass f in einen 2-dimensionalen Vektorraum abbildet, deine Bilder sind aber noch 3-dimensional?!

10.10.2009, 20:46

Ramseier

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Also..ich habe nun einige andere (leider nicht sehr ähnliche) Beispiele angeschaut, und würde zu folgender Lösung kommen:

(a Element in R)

- f(a * (x, y, z)) = f((ax, ay, az)) = ax, ay, az = a(x, y, z) = af(x,y,z)

- f(x, y, z) + (r,s,t) = f((x + r, y + s, z+t)) = (x,r) + (y,s) +(z,t) = (x, y, z) + (r, s,t) = f((x,y,z)) + f((r,s,t))

..stimmt das so?

10.10.2009, 21:03

kiste

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Nein. Hast du meinen Beitrag überhaupt gelesen?
f bildet einen 3-Tupel auf einen 2-Tupel ab!

So ist $\begin{eqnarray*} f(v) = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Verstehe genau warum und mache erst dann weiter.

10.10.2009, 22:48

Ramseier

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Doch, aber mein Problem ist, dass ich sowas noch nie gesehen habe, und mir auch nicht vorstellen kann, wie es aussehen sollte - deshalb wäre ich froh, wenn du es mir wenigstens für dieses Beispiel zeigen könntest..bitte! smile

smile

10.10.2009, 22:57

kiste

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Alles was die Abbildung macht ist aus nem 3-Tupel ein 2-Tupel in dem die unterste Komponente einfach "vergessen" wird. Wie das für f(v) aussieht habe ich bereits geschrieben. Was ist dann f(w)?

10.10.2009, 23:07

Ramseier

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$\begin{eqnarray*} f(w) = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.10.2009, 23:13

kiste

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Okay was ist dann f(v)+f(w)?
Und was ist v+w?

11.10.2009, 11:21

Ramseier

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$\begin{eqnarray*} f(v + w) = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

(v + w) = (v_1 + w_1) , (v_2 + w_2)

11.10.2009, 11:42

kiste

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f(v+w) stimmt. Wie du das allerdings bestimmt hast wenn ist mir unklar, immerhin hast du v+w falsch berechnet Big Laugh

Big Laugh

Stimmt jetzt f(v+w) überein mit f(v)+f(w)?

11.10.2009, 11:59

Ramseier

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Was wäre denn (v + w) richtig? [..ist aber nicht notwendig für die Aufgabe, oder? :S ]

Ja, f(v + w) und f(v) + f(w) stimmen überein.
Ist es aber nicht immer so, dass die überein stimmen müssen? [hättest du evtl ein Gegenbeispiel?]
..oder ist das genau das Kriterium, ob es sich um Linearität handelt, oder nicht?

11.10.2009, 12:05

kiste

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$\begin{eqnarray*} v+w = \begin{pmatrix} v_1+w_1\\v_2+w_2\\v_3+w_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Natürlich stimmen die nicht immer überein. Sei zum Beispiel $\begin{eqnarray*} g : \mathbb R \to \mathbb R\\x\mapsto x+1 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} g(x+y) = x+y+1 \neq x+1 + y+1 = g(x) + g(y) \end{eqnarray*}$ .

Das $\begin{eqnarray*} f(v+w) = f(v) + f(w) \end{eqnarray*}$ ist gerade Bedingung dafür dass f linear ist.

Jetzt muss man das noch für Skalare zeigen:
$\begin{eqnarray*} f(av) = a(fv) \end{eqnarray*}$ muss nachgerechnet werden

11.10.2009, 12:41

Ramseier

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Okey - evtl werde ich zu einem späteren Zeitpunkt dann noch eine Frage haben bezgl. deinem Gegenbeispiel (..sobald ich wahrscheinlich auf eine nicht-lineare Abbildung treffe..)

$\begin{eqnarray*} f(av) = \begin{pmatrix} a \cdot v_1 \\ a \cdot v_2 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
..stimmt also auch überein, das heisst, es handelt sich hier um eine lineare Abbildung.

Richtig? smile

smile

11.10.2009, 12:47

kiste

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Ja

smile

11.10.2009, 13:04

Ramseier

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Super!

smile

Eine Kontrollfrage, ob ich es richtig mache und auch richtig verstanden habe:
Sei g: R^3 --> R^3, $\begin{eqnarray*} g(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} x \\ y-1 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist: $\begin{eqnarray*} g(v) = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 - 1 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(w) = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 - 1 \\ w_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

..das stimmt so, nicht wahr?

11.10.2009, 13:10

kiste

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Ja

11.10.2009, 13:29

Ramseier

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Gut, das heisst, hier handelt es sich ebenfalls um eine lineare Abbildung.

11.10.2009, 13:36

kiste

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Nein, natürlich nicht. Das ist doch nahezu dasselbe Beispiel wie meines für eine nicht-lineare Abbildung.

Wie kommst du zum Schluss dass es linear ist? Wie hast du g(v+w)=g(v)+g(w) gezeigt?!

11.10.2009, 14:30

Ramseier

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Es ist doch:
$\begin{eqnarray*} g(v + w) = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 - 1 + (w_2 - 1) \\ v_3 + w_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die x- und z-Werte sind ja klar, und für die y-Werte ist doch: (v_2 - 1) + (w_2 - 1) = (v_2 + w_2 - 2) , also so wie bei g(v + w) ...

Wo und was habe ich falsch gemacht?

11.10.2009, 14:33

kiste

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Die Abbildung schickt die 2. Komponenten y auf y-1.
Die zweite Komponente ist hier $\begin{eqnarray*} y = v_2+w_2 \end{eqnarray*}$ .
Auf was wird das also abgebildet?!

11.10.2009, 14:49

Ramseier

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Das heisst also:
$\begin{eqnarray*} g(v+w) = \begin{pmatrix} v_1 + w_1\\ v_2 + w_2 - 1 \\ v_3 + w_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ was dann natürlich offensichtlich nicht mehr mit g(v) + g(w) übereinstimmen würde, ergo also nicht linear sein kann.
Richtig so?

11.10.2009, 14:58

kiste

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hihi lustig, man darf nicht zweimal dasselbe in einem Thema schreiben. Trotzdem:
Ja

11.10.2009, 15:20

Ramseier

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Hihi

smile

Zur Kontrolle eine andere Aufgabe:

R^2 --> R^2 , $\begin{eqnarray*} k(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2x + 3y \\ x + 4y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist eine lineare Abbildung. (oder?) smile

smile

11.10.2009, 15:21

kiste

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Ja die ist wieder linear.

11.10.2009, 16:48

Ramseier

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Ich hätte noch eine letzte Kontrollaufgabe:

R^2 --> R, $\begin{eqnarray*} l(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ) = xy \end{eqnarray*}$

Diese Abbildung ist wieder linear.

11.10.2009, 16:50

Mazze

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Nein, die ist nicht linear. Versuch mal $\begin{eqnarray*} l(\lambda x) = \lambda l(x) \end{eqnarray*}$ zu zeigen , das geht nicht.

11.10.2009, 17:00

Ramseier

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ja klar - hab den falschen Vektor genommen --> die Abbildung ist ganz offensichtlich nicht linear.
Vielen Dank euch allen! smile

smile

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