Probleme mit Lösungsansatz für Doppelbruch

10.10.2009, 18:59

mangallores

Probleme mit Lösungsansatz für Doppelbruch

Hallo Leute,

ich bin gerade dabei meine Mathekenntnisse wieder aufzufrischen,
und habe bei dem folgenden Term Schwierigkeiten einen Lösungsansatz zu finden.
Es soll nach x aufgelöst werden.
Ich bräuche erstmal nur einen Lösungsansatz mit dem ich dann weitermachen kann.

$\begin{eqnarray*} \frac{a+\frac{1}{x}}{a-\frac{1}{x}}={a+\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im voraus.

10.10.2009, 19:27

Bakatan

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Multipliziere erst einmal beide Seiten mit 1: $\begin{eqnarray*} \cdot\frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ ( wobei du natürlich nur auf der linken explizit mit x/x multiplizierst )
Danach bist du zumindest die ( für viele störende ) Doppelbrüche weg. Multipliziere dann mit dem Nenner und bring alle Terme mit x auf eine Seite...
Dann schau weiter Augenzwinkern

28.10.2009, 10:49

krk1234

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multipliziere beide Seiten mit dem Nenner.
dann bring alle Ausdrücke mit x auf eine Seite.
Als nächstes muötiplizierst du mit x und bringst wieder alle x auf eine Seite.
Am ende müsste dann a=x deine Lösung sein.

28.10.2009, 12:02

Gualtiero

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Muss zugeben, dass ich von den Lösungsvorschlägen keinen einzigen verstehe. Der Fragesteller hat die Lösung wahrscheinlich schon längst, aber mein Vorschlag wäre, links einen Doppelbruch und rechts einen Bruch herzustellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{ax+1}{x}}{\frac{ax-1}{x}}=\frac{a^2+1}{a} \end{eqnarray*}$

28.10.2009, 18:45

Bakatan

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Der Thread ist 18 Tage alt und der Fragesteller hat sich bisher nicht wieder gemeldet ( zumindest hier ). Ich gehe also davon aus, es ist bereits gelöst.
@Gualtiero: Wenn du jetzt links den Doppelbruch auflöst, unterscheidet es sich nicht zu meinem Vorschlag.
$\begin{eqnarray*} \frac{(a+\frac{1}{x})x}{(a-\frac{1}{x})x}=\frac{ax+1}{ax-1} \end{eqnarray*}$
Aber das man diese Aufgabe auf viele verschiedene Wege lösen kann ist wohl klar smile

28.10.2009, 19:18

Gualtiero

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Sorry, das war ein Missverständnis meinerseits. Oder doch nicht?
mangallores spricht von einem Term. Das hatte ich überlesen und seine latex-Zeile, die dann wohl die erste Umformung sein soll (?), als Gleichung angesehen.

Zitat:

Es soll nach x aufgelöst werden.

Wie man den Term allerdings nach x auflösen soll, ist mir nicht klar. verwirrt

28.10.2009, 20:17

Bakatan

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Hm, ich sehe es auch aus Gleichung an. Ich schätze mal wir haben uns bloß irgendwo missverstanden.

28.10.2009, 21:37

Gualtiero

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Gut, also doch Gleichung.

Zitat:

@Gualtiero: Wenn du jetzt links den Doppelbruch auflöst, unterscheidet es sich nicht zu meinem Vorschlag.

Aber nur, was die linke Seite angeht, die rechte Seite muss ich von mangallores übernehmen. Habe ich gemacht.

Zitat:

Original von Gualtiero

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{ax+1}{x}}{\frac{ax-1}{x}}=\frac{a^2+1}{a} \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a}{x}}{\frac{b}{x}}=\frac{a\cdot x}{b\cdot x}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{ax+1}{ax-1}=\frac{a^2+1}{a} \end{eqnarray*}$

und nach kreuzweisem Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} a^2x+a=a^3x-a^2+ax-1 \end{eqnarray*}$

Ausklammern und Auflösen nach x bringt aber nicht das Ergebnis von krk1234 (a = x), sondern das "unrunde"

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{a^2+a+1}{a^2-a^3-a} \end{eqnarray*}$

28.10.2009, 23:12

Bakatan

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Zitat:

Ausklammern und Auflösen nach x bringt aber nicht das Ergebnis von krk1234 (a = x)

Das krk's Ergebnis stimmt habe ich auch nie behauptet Augenzwinkern

Eine einfache Folgerung dieses ( wohl falschen ) Ergebnisses wäre schließlich eine Aussage über a:
$\begin{eqnarray*} a-\frac{1}{a}=1;~a²-a-1=0;~a=\frac{1}{2}(1\pm \sqrt{5}) \end{eqnarray*}$

30.10.2009, 10:10

krk1234

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also nach dem multiplizieren mit dem Nenner komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} a²-\frac{1}{x} =a²-\frac{a}{x} +1-\frac{1}{ax} \end{eqnarray*}$
nachdem alle x auf einer Seite sind habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{x} +\frac{1}{ax} -\frac{1}{x²} =1 \end{eqnarray*}$
nach der multiplikation mit x:
$\begin{eqnarray*} a+\frac{1}{a} -\frac{1}{x} =x \end{eqnarray*}$
und das ergibt dann doch a=x
oder übersehe ich da was?

30.10.2009, 18:09

Bakatan

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Erstens: selbst wenn das heraus kommen würde ergibt das:
$\begin{eqnarray*} x²-(a+\frac{1}{a})x+1=0 \end{eqnarray*}$ Was mehr als eine Lösung besitzt ( x=a und x=1/a ).
Zweitens ist allerdings
$\begin{eqnarray*} \frac{a+\frac{1}{x}}{a-\frac{1}{x}}=a+\frac{1}{a}\quad\big| \cdot (a-\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+\frac{1}{x}=a²-\frac{a}{x}+1-\frac{1}{xa} \end{eqnarray*}$
Und wie du auf deine linke Seite kommst verstehe ich nicht ganz.

30.10.2009, 19:21

Gualtiero

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@krk1234
1. So wie ich Deinen letzten Beitrag sehe, ist aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ in der ersten Latexzeile
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ in der zweiten Latexzeile geworden. Ist das nur ein Tippfehler?

2. Das wollte ich schon früher fragen: Was verstehst Du in diesem Beispiel unter "Nenner"? Wir müssen ja vom Originalterm (bzw. Originalgleichung??) in mangallores' Beitrag ausgehen, und da gibt es mehrere Nenner.

21.03.2010, 17:20

krk1234

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ich rede vom Nener als den Nener des Doppelbruchs.
Ich glaube das war nur ein tippfehler mit dem x²
würde auch einiges erklären...

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