Funktionsgleichung aufstellen

10.10.2009, 22:50

Max Gut

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Funktionsgleichung aufstellen

Hallo,
ich habe zu der Funktion:

$\begin{eqnarray*} Q_1(t)=A \cdot e^{\frac t \tau} \end{eqnarray*}$
Es gibt eine Tangente, die die Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} (t_0,-Q_0) \end{eqnarray*}$ und die t-Achse bei $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$

Ich habe erst einmal die ABleitung gebildet:
$\begin{eqnarray*} \dot {Q_1}=-\frac A \tau \cdot e ^{-\frac t \tau} \end{eqnarray*}$

daher bekomme ich 2 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} I: -Q_0=A \cdot e ^{- \frac {t_0} \tau} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: \frac {Q_0} {t_1-t_0}=-\frac A \tau \cdot e ^{-\frac t \tau} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt die erste nach A umstelle un in die 2. einsetze komme ich aber irgendwie nicht weiter. Ist bis hierhin erstmal alles richtig?

10.10.2009, 23:02

Max Gut

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in der Funktion fehlt ein minus im Exponenten vor dem Bruch.

10.10.2009, 23:30

Draos

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Also i-was kommt mir bei der Aufgabe komisch so vor.

So wie ich, dass sehe hast du 2 Punkte gegeben den Berührpunkt $\begin{eqnarray*} (t_0,-Q_0) \end{eqnarray*}$ und den t-Achse-Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} (t_1,0) \end{eqnarray*}$

Normalerweise reichen ja 2 Punkte für eine Gerade.

Bei dir fehlt eh noch was bei der Aufgabenstellung.

Zitat:

Es gibt eine Tangente, die die Funktion im Punkt und die t-Achse bei

Verb vermisst

10.10.2009, 23:35

Max123

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Ja schneidet fehlt da noch. Also ich möchte A und $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ bestimmen.

11.10.2009, 00:19

Draos

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Bis dato erkenn ich keinen Fehler. Dann stell mal nach A um und setz ein.

11.10.2009, 12:32

Max123

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Naja ich bekomme das $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ nicht einzeln:

$\begin{eqnarray*} A=-Q_0 \cdot e^{\frac {t_0} \tau} \end{eqnarray*}$

eingesetzt und vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} t_1-t_0=\tau \cdot e^{\frac {t-t_0} {\tau} } \end{eqnarray*}$

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11.10.2009, 12:38

mYthos

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Die transzedente Gleichung (-> Variable ist im Term als Faktor UND auch im Exonenten) ist nicht algebraisch lösbar, dazu bedarf es eines Näherungsverfahrens.

mY+

11.10.2009, 12:43

Max123

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hmm hier nochmal die ganze Aufgabe. vlt. habe ich auch ganz falsch angefangen.

11.10.2009, 13:02

mYthos

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Offensichtlich hast du einen Fehler. Denn $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ lässt sich leicht berechnen, wenn man die Gleichung der Tangente richtig ermittelt hat. Wie sieht deine Rechnung dazu aus?

[ $\begin{eqnarray*} t_1 = \tau + t_0 \end{eqnarray*}$ ]

mY+

P.S.: Auf Grund des Graphen ist A < 0

11.10.2009, 14:13

Max123

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für die Gleichung habe ich:

$\begin{eqnarray*} Y_t=-\frac A \tau \cdot e ^{-\frac t \tau}\cdot t + \frac A \tau \cdot e^{-\frac t \tau}\cdot t_0-Q_0 \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 18:55

Max123

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Wie bist du eig. darauf gekommen:

$\begin{eqnarray*} t_1 = \tau + t_0 \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 22:34

mYthos

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Deine Gleichung ist nicht ganz richtig. Sowohl beim Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ als auch bei der Steigung - welche ja an derselben Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ besteht - gehören in den Exponenten $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ statt t ! Und ganz rechts ist noch ein Vorzeichenfehler, da muss $\begin{eqnarray*} +Q_0 \end{eqnarray*}$ stehen, nicht $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$

Setze dann noch ganz rechts für $\begin{eqnarray*} Q_0 \end{eqnarray*}$ den Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ! Da die Laufvariablen t und Q(t) sind, muss nun Q(t) = 0 gesetzt und das dazugehörige t (dieses wird dann zu $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ !) berechnet werden. Dabei kann die ganze Gleichung durch $\begin{eqnarray*} A e^{-\frac{t_0} \tau} \end{eqnarray*}$ gekürzt werden und es kommt:

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac t \tau + \frac{t_0} \tau + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to t \to t_1 \end{eqnarray*}$

mY+

12.10.2009, 00:00

Max123

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also das mit dem $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ im Exponenten habe ich verstanden. Aber das mit dem Vorzeichen ist mir noch unklar. Ich rechne doch das n so aus:

$\begin{eqnarray*} -Q_0=-\frac A \tau \cdot e^{-\frac {t_0} \tau}\cdot t_0+n \end{eqnarray*}$
Da ist das doch negativ.

Zitat:

Original von mYthos
Setze dann noch ganz rechts für $\begin{eqnarray*} Q_0 \end{eqnarray*}$ den Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ !

Das verstehe ich auch noch nicht so richtig. der funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$
___________________________________________

ok ich habs jetzt verstanden nur das mit dem Vorzeichen nicht. Ich habe ja hinten:

$\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$ und um auf das zu kommen brauche ich $\begin{eqnarray*} +Q_1(t_0) \end{eqnarray*}$ , was dann wieder aufs gleiche kommt wie bei dir.

Edit (mY+): Zwei Postings hinterienander zusammengeführt.

12.10.2009, 00:17

mYthos

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Und eben das $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$ hinten muss $\begin{eqnarray*} +Q_0 \end{eqnarray*}$ sein. Das folgt aus der Gleichung der Geraden

$\begin{eqnarray*} y = mx + b \end{eqnarray*}$

und das $\begin{eqnarray*} Q_0 \end{eqnarray*}$ nimmt die Stelle des b ein.

mY+
___________________

Ahhhh, ich seh' jetzt dein Problem! Ich hatte dich auch schon darauf aufmerksam gemacht, dass A negativ ist! Demzufolge gilt das auch für $\begin{eqnarray*} Q_0 \end{eqnarray*}$ . Du darfst also nicht das Minus aus der Zeichnung mit übernehmen, denn $\begin{eqnarray*} Q_0 \end{eqnarray*}$ ist ja ohnehin schon negativ! Es kommt daher mit PLUS rechts zu stehen. Klar?

12.10.2009, 08:16

Max123

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Ok ich dachte ich muss immer mit $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$ rechnen. Also das das ganze immer invertiert wird. Also, wenn ich z.B. den Punkt habe: $\begin{eqnarray*} (t0,-4) \end{eqnarray*}$ wäre es in wirklichkeit $\begin{eqnarray*} (t_0,4) \end{eqnarray*}$ . Also hat das - quasi rein informellen Charakter oder?

12.10.2009, 14:21

mYthos

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So ist das, ja. Die angegebene Funktion selbst liefert bereits den vollständigen Funktionswert inklusive dem Vorzeichen; deshalb darf man es nicht nochmals negativ setzen.

mY+

12.10.2009, 16:04

Max123

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Ok. Wie mache ich da jetzt weiter? Das $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist ja quasi schon bestimmt: $\begin{eqnarray*} \tau=t_1-t_0 \end{eqnarray*}$ . Soll ich jetzt mit den 2 Gleichungen weitermachen, die ich am Anfang aufgestellt habe? Die müssten ja aber auch falsch sein, da ich da glaube auch mit $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$ gerechnet habe.

12.10.2009, 17:18

mYthos

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Zitat:

Original von Max123
Ok ich dachte ich muss immer mit $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$ rechnen. Also das das ganze immer invertiert wird. Also, wenn ich z.B. den Punkt habe: $\begin{eqnarray*} (t0,-4) \end{eqnarray*}$ wäre es in wirklichkeit $\begin{eqnarray*} (t_0,4) \end{eqnarray*}$ . Also hat das - quasi rein informellen Charakter oder?

Da muss ich allerdings doch nochmals einhaken, denn das gilt nur bei dem allgemeinen Funktionswert Q(t), welcher das Vorzeichen bereits ebenfalls beeinhaltet. Aber 4 und -4 sind ja tatsächlich zwei verschiedene Werte und deren Vorzeichen ist bereits festgelegt. Wenn die Funktion also den Wert -4 liefert, ist auch mit diesem weiter zu rechnen. Ist der Funktionswert aber beispielsweise allgemein Q, so kann dieser sowohl positiv als auch negativ sein. Was tatsächlich zutrifft, bestimmt ausschließlich die Funktionsvorschrift, die die Variable Q erzeugt. Daraus -Q zu machen, wäre ein Fehler, denn es würde bedeuten, die Funktion an der x-Achse zu spiegeln und dadurch würde man nicht mehr die ursprüngliche Funktion behalten.

Der Grund hier, warum es überhaupt zu dem Mißverständnis kommt, ist der, dass die Gleichung aus der Physik stammt und eine negative Ladung Q beschreibt, die jedoch von einer positiven Fläche A abhängt. Daher müsste die Funktionsgleichung mathematisch korrekt eigentlich so lauten:

$\begin{eqnarray*} Q(t) = -A e^{-\frac t \tau} \ \text {mit A} > \text{0} \end{eqnarray*}$
_________________________________

Zu deinen Fragen:

Richtig, $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ sind gegeben, $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist gesucht:

$\begin{eqnarray*} \tau = t_1 - t_0 \end{eqnarray*}$

Das noch fehlende A ermitteln wir, in dem wir den Berührungspunkt (t0; -Q0) der Tangente in die (angepasste) Funktionsgleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -Q_0 = -A \cdot e^{-\frac{t_0} \tau} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ setze noch den eben gefundenen Ausdruck ein ...

mY+

12.10.2009, 17:46

Max123

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ok da komme ich

$\begin{eqnarray*} A=Q_0 \cdot e^{\frac{t_0} {t_1-t_0}} \end{eqnarray*}$

Aber mit der Vorzeichengeschichte ist mir immer noch nicht alles klar:

$\begin{eqnarray*} -Q_0 = -A \cdot e^{-\frac{t_0} \tau} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$ ist ja klar. Das ist ja die Y-Koordinate. Aber wieso $\begin{eqnarray*} -A \end{eqnarray*}$ ? Nur weil ich weis, dass das A negativ ist?

12.10.2009, 17:59

mYthos

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Du kannst auch das Minus weglassen und bei A dann den Betrag nehmen, wenn die Fläche positiv sein soll. Es kommt hier wahrscheinlich ohnehin nur auf den Zahlenwert an.

Bei der Tangente musste man allerdings sehr aufpassen, denn sonst wäre eine falsche Lösung herausgekommen.

mY+

12.10.2009, 18:09

Max123

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ok also ist das jetzt die Funktionsgleichung:

$\begin{eqnarray*} Q_1(t)=Q_0 \cdot e^{\frac{t_0} {t_1-t_0}} \cdot e^{-\frac t {t_1-t_0}}=Q_0 \cdot e^{\frac{t_0-t} {t_1-t_0}} \end{eqnarray*}$

12.10.2009, 18:39

mYthos

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smile

Sieht gut aus.

mY+

12.10.2009, 18:50

Max123

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ok damit wäre erstmal der Zahlenwert klar. Ich würde nur noch gerne die Vorzeichen Angelegenheiten aus der Welt schaffen.

Wieso kann ich nicht so bei der Tangente rechnen:
$\begin{eqnarray*} -Q_0=- \frac A \tau \cdot e ^{\frac {t_0} \tau} \cdot t_0 + n \end{eqnarray*}$

damit wäre ja
$\begin{eqnarray*} n=\frac A \tau \cdot e^{\frac {t_0} \tau }\cdot t_0 -Q_0 \end{eqnarray*}$

des weiteren gilt ja:

$\begin{eqnarray*} -Q_0=A \cdot e^{-\frac {t_0} \tau} \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} n=\frac A \tau \cdot e^{\frac {t_0} \tau }\cdot t_0 + A \cdot e^{-\frac {t_0} \tau} \end{eqnarray*}$

Das kommt ja Zahlenmäßig aufs gleiche. Wo ist da mein Denkfehler?

12.10.2009, 21:59

mYthos

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Zitat:

Original von Max123
...
Wieso kann ich nicht so bei der Tangente rechnen:
$\begin{eqnarray*} -Q_0=- \frac A \tau \cdot e ^{\frac {t_0} \tau} \cdot t_0 + n \end{eqnarray*}$
...

Wenn du erklärst, wie du darauf gekommen bist, könnte das stimmen. Abgesehen davon, dass du auf das negative Vorzeichen im Exponenten vergessen und den Fehler in die nächsten Zeilen mitgenommen hast ..

mY+

13.10.2009, 17:00

Max123

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ok das waren nur Tippfehler. Nochmal eine Frage zu dem A. Einmal hast du geschrieben, dass es negativ sein muss und dan, dass ich den Betrag von A nehmen soll. Eigentlich muss es ja schon negativ sein, oder?

13.10.2009, 19:43

mYthos

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Dann, wenn Q negativ werden soll, muss konsequenterweise auch A negativ sein.

mY+

13.10.2009, 20:30

Max123

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Also müsste die Funktion lauten:
$\begin{eqnarray*} Q_1(t)=-Q_0 \cdot e^{\frac{t_0-t} {t_1-t_0}} \end{eqnarray*}$

13.10.2009, 21:12

mYthos

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Vorausgesetzt, $\begin{eqnarray*} Q_0 \end{eqnarray*}$ selbst ist positiv, ja.
Das siehst du auch, wenn du für $\begin{eqnarray*} t \to t_0 \end{eqnarray*}$ einsetzt, es ergibt sich $\begin{eqnarray*} -Q_0 \end{eqnarray*}$ .

mY+

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