Vektorraum - lineare Abbildung

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Nani Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum - lineare Abbildung
Hallo und guten Abend miteinander!

Es seien U, V, W Vektorräume über dem Körper K und g: U --> V und f: V --> W lineare Abbildungen. Zeigen sie, dass dann f o g: U --> W auch eine lineare Abbildung ist.
(o = Kringel)

Wie zeigt man das mathematisch richtig?

Ich habe meine Gedanken darüber gemacht, kann sie aber nicht in mathematische Sprache umformen: U ist der Vektorraum, dessen "Elemente" durch f linear auf V abgebildet werden, und jene von V werden widerum auf W linear abgebildet (durch f). Das Kringel-Zeichen verbindet diese beiden Abbildungsvorschriften (f und g) und sollte injektiv sein (oder?).

Die Aufgabe hätte ich also schon verstanden, nur eben: wie sieht es mathematisch richtig aus?

Herzlichen Dank für die Hilfestellung und guten Abend!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Kringel-Zeichen" das man Komposition nennt ist eine Verknüpfung, was genau meinst du denn damit dass diese injektiv sein soll?!

Zeige die Bedingungen für eine lineare Abbildung.
Es ist ja . Zeige also

und


Dabei darfst du diese Eigenschaften jeweils schon für und annehmen.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Okey - habe ich gemacht - ist nun bereits gezeigt, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, willst du deinen Beweis noch aufschreiben? smile
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ihn ziemlich simpel gemacht:

(f o g)(u_1 + u_2) = (f(u_1) o g(u_1)) + (f(u_2) o g(u_2)) = (f o g)(u_1) + (f o g)(u_2)

und


(f o g)(ku) = (k*f(u) o k*g(u)) = k(f(u) o g(u)) = k(f o g)(u)

smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen wollte ich ihn sehen.
Was soll denn bedeuten?
Ich habe doch oben geschrieben:
(:= heißt "ist definiert als") und genau das musst du auch einsetzen Augenzwinkern
 
 
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

ups - stimmt ja:

neuer Beweis:

(f o g)(u_1 + u_2) = f(g(u_1)) + f(g(u_2)) = (f o g)(u_1) + (f o g)(u_2)

und

(f o g)(ku) = f(g(u))(k) = k*(f(g(u))) = k*(f o g)(u)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Daran ist jetzt zumindest nichts mehr falsch.
Aber warum ist (f o g)(u_1 + u_2) = f(g(u_1)) + f(g(u_2)) und f(g(u))(k) = k*(f(g(u)))?
Da bist du etwas schnell, erkläre mir warum oder füge noch ein paar Zwischenschritte ein.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Definition ist ja (f o g)(u) : = f(g(u))
deshalb die Umformungen..
hmm..was könnte man sonst noch in die Zwischenzeilen schreiben?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja nach Definition ist es so. Also ist
.
So und für ... fehlt jetzt noch ein Schritt der die Linearität von g benutzt. Welcher Schritt ist das?
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre:

kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Hast du auch verstanden warum das jeweils gilt?

Versuch es für den Skalar auch nochmal, geht aber im Prinzip gleich
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

jupii smile
Ja, es ist eben wegen der Linearität von g: Wäre g nicht linear, wäre dieser Schritt nicht zulässig, ergo wäre die Addition nicht linear. (was dann ein Widerspruch zur Aufgabe wäre)


zur Multiplikation:
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll den eine Multiplikation von rechts bedeuten?
Von wo kommst du bei ...?
Warum ist der erste Term gleich dem dritten Term? Augenzwinkern
Nani Auf diesen Beitrag antworten »



Stimmt es so nicht?
..ja, der Term kam einmal zuviel vor..hab ich gar nicht bemerkt smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nani


Ich habe doch schonmal gesagt: Rechtsmultiplikation mit k macht keinen Sinn, es ist schlichtweg nicht definiert!

So stimmt es.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

achsoo hast du das gemeint..ich habe eigentlich nicht einmal explizit daran gedacht, wo das k stehen sollte, weil ich das irgendwie "automatisch" auf der linken Seite sehe und auch dort betrachte, obwohl ich es ja auf der rechten Seite geschrieben habe..
Aber es ist nun klar, warum das rechts falsch ist - Stichwort Linksmultiplikation smile

..ich glaube, eine andere Aufgabe würde ins gleiche Gebiet passen:
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und f: V --> K und g: V --> K lineare Abbildungen. Man soll dann zeigen, dass dann

eine lineare Abbildung ist.

Ist hier wieder ähnliches zu zeigen, also:
- f(v+w) = f(v) + f(w) bzw. g(v + w) = g(v) + g(w)
- f(av) = af(v) bzw. g(av) = ag(v)

..oder was wäre hier zu zeigen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nani
Ist hier wieder ähnliches zu zeigen, also:
- f(v+w) = f(v) + f(w) bzw. g(v + w) = g(v) + g(w)
- f(av) = af(v) bzw. g(av) = ag(v)

Das ist gerade gegeben Augenzwinkern
Zu zeigen ist F(v+w) = F(v) + F(w) und F(av) = aF(v).
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

äää ja!
dumm, dümmer... :P

Mach ich etwas falsch, oder ist das relativ simpel zu zeigen:


..was mit F(v) + F(w) übereinstimmt.

und

kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Wunder dass F(v)+F(w) mit F(v)+F(w) übereinstimmt oder?
Aber vergleiche musst du trotzdem mit F(v+w) Big Laugh

Der Beweis für den Skalar ist mir ein wenig zu schnell, mach da noch einen Zwischenschritt rein.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich meine ich dort bei der Latex-Schrift: F(v + w) = ... , was übereinstimmt mit F(v) + F(w) smile

Zum Skalar: wo wäre dann noch ein Zwischenschritt sinnvoll?
Hier zum Beispiel:
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Achte doch darauf was du schreibst. Das ergibt überhaupt keinen Sinn.
Was soll den bitte fa(v) bedeuten? Da muss f(av) stehen!

Auch wenn du im LaTeX gemeint hast, anfangs sollte man immer die Definition einsetzen, nicht direkt das Ergebnis Augenzwinkern

Also: und dann benutzt man die gegebenen Eigenschaften.

Deine Rechnungen kommen einem so vor als ob du nur mit Zeichen um dich wirfst und oft nicht bewusst bist warum welche Umformungsschritte gelten.
Du musst dir bei jedem Schritt klar sein warum diese gleich sind.
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