Linearität

10.10.2009, 23:20

Nani

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Linearität

Hi @ all!

Angenommen: Unter R[x] versteht man die Menge aller Polynomen in x mit Koeffizienten aus R, d.h. R[x] : = {c_0 + c_1*x + c_2*x^2 + ... + c_n*x^n | c_0, c_1, ..., c_n Element R}

R[x] ist R-Vektorraum und die Monome {1, x, x^2, ...} sind eine Basis von R[x] (hab ich bereits alles bewiesen)

Nun hätte ich eine Interessens-Frage: Wenn D: R[x] --> R[x] die Abbildung, die jedes Polynom zu seiner Ableitung bringt, also zB D(3) = 0, D(x^2 - x) = 2x-1, D(x^k) = kx^{k-1} , ist, ist D dann eine lineare Abbildung?

..wenn ja: warum?

10.10.2009, 23:23

kiste

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Ja es ist eine lineare Abbildung.
Warum: Wegen den Ableitungsregeln.
Ansonsten: Zeige es einfach einmal direkt, so schwer ist es nicht!

10.10.2009, 23:33

Nani

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Wie meinst du direkt beweisen?
Klar - ich sehe, dass jede Funktion einer (jeweils verschiedenen) Ableitung zugewiesen wird, aber wir könnte / würde ich das denn zeigen?

10.10.2009, 23:35

kiste

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Wie vorhin auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} D(f+g) = D(f) + D(g) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(kf) = kD(f) \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen mit $\begin{eqnarray*} f = \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = \sum_{i=0}^m b_i x^i \end{eqnarray*}$ zwei beliebige Polynome aus K[x]

11.10.2009, 00:41

Nani

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Seien $\begin{eqnarray*} f = \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = \sum_{i=0}^m b_i x^i \end{eqnarray*}$ (von vorher) smile

smile

Dann ist:

D(f + g) = $\begin{eqnarray*} D(( \sum_{k=0}^n a_k x^k) + (\sum_{i=0}^m b_i x^i)) = D(\sum_{k=0}^n a_k x^k) + D(\sum_{i=0}^m b_i x^i) \end{eqnarray*}$

und

D(kf) = $\begin{eqnarray*} k \cdot ( \sum_{k=0}^n a_k x^k) = D(\sum_{k=0}^n a_k x^k) \cdot k = k \cdot D(\sum_{k=0}^n a_k x^k) \end{eqnarray*}$

--> somit eine lineare Abbildung.

11.10.2009, 02:23

kiste

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Zitat:

Original von Nani
Dann ist:
D(f + g) = $\begin{eqnarray*} D(( \sum_{k=0}^n a_k x^k) + (\sum_{i=0}^m b_i x^i)) = D(\sum_{k=0}^n a_k x^k) + D(\sum_{i=0}^m b_i x^i) \end{eqnarray*}$
und

D(kf) = $\begin{eqnarray*} k \cdot ( \sum_{k=0}^n a_k x^k) = D(\sum_{k=0}^n a_k x^k) \cdot k = k \cdot D(\sum_{k=0}^n a_k x^k) \end{eqnarray*}$
--> somit eine lineare Abbildung.

Das hast du doch nur die Behauptung aufgeschrieben. Du musst schon konkret die Ableitung einmal ausrechnen auf beiden Seiten der Gleichung.

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11.10.2009, 11:49

Nani

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Guten Tag!

Na, hab's noch gedacht, dass das mehr Behauptung als Faktum ist :P

also: hier meine (hoffentlich) vollständige Argumentation:

$\begin{eqnarray*} D(f + g)&=& \\&=& D((\sum_{k=0}^n~a_kx^k) + (\sum_{k=0}^m~b_ix^i)) \\&=& ((\frac{b_{m+1} (mx - m -1) \cdot x^m}{(x-1)^2}) + (\frac{a_{n+1}(nx - n -1) \cdot x^n}{(x-1)^2}) + ( \frac{a_{n+1} + b_{m+1}}{(x-1)^2})) \\&=& D(\sum_{k=0}^n~a_kx^k) + D(\sum_{k=0}^m~b_ix^i) \end{eqnarray*}$

Stimm das so, für die Addition?
(ich sehe gerade, dass ich bei der Ableitung jene von g vor jener von f geschrieben habe - aber die Reihenfolge spielt ja keine Rolle)

(zur Vollständigkeit:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = (\frac{a_{n+1}(nx - n -1) \cdot x^n}{(x-1)^2} + \frac{a_{n+1}}{(x-1)^2}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g'(x) = (\frac{b_{m+1} (mx - m -1) \cdot x^m}{(x-1)^2} + \frac{b_{m+1}}{(x-1)^2} ) \end{eqnarray*}$

(kiste: Hab LaTeX korrigiert so dass es das Layout nicht mehr sprengt)

11.10.2009, 11:57

kiste

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Wie du die Ableitung eines Polynoms bildest ist mir sehr schleierhaft. geschockt

geschockt

Warum teilst du dort durch (x-1)^2? Wo ist die Summe hinverschwunden? Was soll der Koeffizient a_{n+1} sein den es davor noch nicht gab?

11.10.2009, 12:04

Nani

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Hmm..ehrlichgesagt hatte ich schon ziemlich Mühe mit der Ableitung, vor allem wegen dem Summenzeichen..

Also a_{n+1} ist bei mir durch die Ableitung von a_k entstanden, genau soo wie der Nenner..

Wie leitet man richtig ein solches Konstrukt ab?

11.10.2009, 12:07

kiste

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Vllt. reicht ein kleines Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2 a_k x^k = a_0 + a_1x + a_2x^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist davon die Ableitung?

Allgemein musst du eben jeden Summanden einzeln ableiten, das ist gerade die Summenregel für Ableitungen.

11.10.2009, 12:48

Nani

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Hier wäre die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} 2a_2x + a_1 \end{eqnarray*}$

ahh..das heisst, wenn die Summe nicht nur bis 2, sondern bis n geht:
$\begin{eqnarray*} n \cdot a_nx^{n-1} + (n-1) \cdot a_{n-1}x^{n-2} + ... + a_1 \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 12:59

kiste

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Richtig.
Oder geschrieben mit Summenzeichen:
$\begin{eqnarray*} D(f) = \sum_{k=1}^{n} ka_k x^{k-1} \end{eqnarray*}$
Jetzt eben noch D(g) und D(f+g) bestimmen.

11.10.2009, 13:38

Nani

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Ok, das heisst für:
$\begin{eqnarray*} D(g) = \sum_{i=1}^m~i b_i x^{i-1} \end{eqnarray*}$

und für die Summe D(f + g) :
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~ka_kx^{k-1}) + ( \sum_{i=1}^m~i b_i x^{i-1} ) \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 13:40

kiste

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Gilt also D(f+g)=D(f)+D(g) oder nicht?

Und für Skalare muss man es auch noch prüfen

11.10.2009, 14:08

Nani

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Ja, D(f+g) = D(f) + D(g) gilt, sowie auch D(kf) = kD(f)

Herzlichen Dank für Deine sehr hilfreiche Unterstützung, kiste!
Dankeschöööön! smile

smile

11.10.2009, 14:26

kiste

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Bitte sehr smile

smile

Wenn du willst kannst du noch den Beweis von D(kf) = kD(f) posten.

11.10.2009, 14:45

Nani

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Kann ich - ich hoffe, er stimmt, weil ich hier doch relativ sicher bin:
$\begin{eqnarray*} D(kf) = Dk(f) = (k \cdot \sum_{k=0}^n~a_kx^k)' = (k \cdot (\sum_{k=1}^n~ka_kx^{k-1}) = k \cdot D(f) \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 14:47

kiste

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Was soll Dk(f) bedeuten?
Außerdem ist es sehr ungünstig auch den Laufindex k zu nennen Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.10.2009, 15:07

Nani

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Der Laufindex - ist damit das k beim Summenzeichen gemeint?
Dk(f) ist Unsinn..diesen Schritt und derjenige rechts vom Gleichheitszeichen bitte wegdenken smile

smile

11.10.2009, 15:10

kiste

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Ja eine der Variablen sollte man umbennen damit es nicht zu Verwirrung kommt.
Versuche es noch einmal, am besten so ausführlich wie möglich. Ich will alle Schritte sehen die du dir denken kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.10.2009, 16:26

Nani

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Also, ich habe mal folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} D(kf) = D(k \cdot (\sum_{z=0}^n~a_zx^z)) = k \cdot (\sum_{z=1}^n~za_zx^{z-1}) = k \cdot D(f) \end{eqnarray*}$

12.10.2009, 01:14

kiste

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z ist eher unüblich für einen Laufindex, aber das sind nur Schönheitsfehler.
Also: Richtig Freude

Freude

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