Wurzel der Summe zweier Funktionen integrieren

11.10.2009, 12:48

PeeAeMKay

Wurzel der Summe zweier Funktionen integrieren

Ich bin in letzter Zeit über einen Fall bei der Integralrechnung gestolpert, an dem ich immer wieder scheitere.

Der Fall taucht z.B. bei der Berechnungen der Länge einer Kurve auf, oder wenn ich den Betrag eines Vektors in der Rechnung dabei habe.

Wie geht man vor, wenn man folgenden Term hat:

$\begin{eqnarray*} \intop_{a}^{b}\sqrt{f(x)+g(x)}dx \end{eqnarray*}$

Und, ein ähnlicher Fall bei mehrdimensionaler Integration:

$\begin{eqnarray*} \intop_{a}^{b}\intop_{a}^{b}\sqrt{f(x)+g(y)}dxdy \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen habe ich das Problem, dass unter der Wurzel eine Summe steht und ich mit den "üblichen" Integralregeln nicht weiterkomme.

Ich habe gerade die erste Formel in Zusammenhang mit der Länge von Kurven schon häufiger gesehen, aber nie den ganzen Rechenweg als Beispiel gefunden. In der Regel scheint der Wert nur angenähert zu werden.

Den einzigen Verdacht, den ich habe, ist, dass man mit trigonometrischer Substitution arbeiten muss, aber die habe ich noch nicht so ganz durchblickt...

Kann mir da jemand weiterhelfen?

11.10.2009, 13:16

mYthos

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Solange f(x) und g(x) nicht explizit gegeben sind, dürfte es m. E. keinen mathematischen Ausdruck für eine mögliche Stammfunktion geben.

Auch der Wolfram hilft hier nicht viel weiter ...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int...Bg%28x%29%29%29

mY+

11.10.2009, 13:29

Elvis

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Das sind tiefliegende Probleme, die sicher nicht allgemein gelöst werden können. Wichtige Beispiele wurden im 17. Jahrhundert unter dem Namen "elliptische Integrale" untersucht. Heute betrachtet man solche Probleme im Rahmen der Theorie der "Riemannschen Flächen".

Wikipedia sagt (hier:http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisches_Integral)

Ein Elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ
$\begin{eqnarray*} \int~R(x,\sqrt{P(x)})dx \end{eqnarray*}$

wobei R eine rationale Funktion in zwei Variablen und P(x) ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Der Name rührt daher, dass Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs einer Ellipse auftreten. Sie erscheinen auch in der Formel für die Oberfläche eines Ellipsoids. Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, ...

11.10.2009, 13:53

PeeAeMKay

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Zitat:

Original von mYthos
Solange f(x) und g(x) nicht explizit gegeben sind, dürfte es m. E. keinen mathematischen Ausdruck für eine mögliche Stammfunktion geben.

Zitat:

Original von Elvis
Das sind tiefliegende Probleme, die sicher nicht allgemein gelöst werden können.

Hm, Mist. Aber das erklärt auch, warum ich keinen Rechenweg dafür gefunden habe, es sei denn, die Funktionen entsprechen z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . In dem Fall kann man offenbar die trigonometrische Substitution anwenden.

Da das in meinen Anwendungsfällen nicht der Fall ist, werde ich wohl auch mit Annäherungen arbeiten müssen.

Danke für die schnelle Antwort Freude

11.10.2009, 17:14

Elvis

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Im "Bronstein" ("Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein-Semendjajew, Verlag Harri Deutsch) gibt es im Kapitel "Integralrechnung" Beispiele für Integrale über Wurzeln. Der Radikand ist da immer eine spezielle Funktion von x, und dann kann man das Integral berechnen.

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