Normalverteilung: Aufgabe-Widerstände

11.10.2009, 16:31

fraggelfragger

Normalverteilung: Aufgabe-Widerstände

Zitat:

Eine Maschine produziert Widerstände welche einen theoretischen Widerstand von 100ohm haben. Ein Widerstand wird "maßhaltiges Teil = Gutteil" genannt wenn seine absolute Standardabweichung zwischen dem reellen Wert seines Widerstandes und dem theoretischen Wert eine bestimmten Wert a>0 nicht übersteigt.
Man kann annehmen das die Distribution (Funktion) einer Normalverteilung entspricht.
$\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(100, 3) \end{eqnarray*}$

1) Was ist die Wahrscheinlichkeit das ein Widerstand, durch Zufall herausgezogen, nicht maßhaltig ist wenn a= 5,25 entspricht?

2) Bestimmen sie den Wert von a, wenn die Wahrscheinlichkeit das die Maschine 97% Gutteile produziert.

3)

Sei Z die Variable die, die Anzahl der Ausschusswiderstände für a=5,25, bei einer Fertigung von 50 Teilen, angibt.

a) Geben sie die passende Verteilung für Z an.
b) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit mindestens 10 Ausschuss Teile zu bekommen. (Es kann zum berechnen, einfach die Verteilung die in Teilaufgabe a) benutzt werden.)

Meine Lösungen:

Also ich habe diese Aufgabe bereits bis 1) - 3)a gelöst. Ich notiere hier mal nur die Ergebnisse, wäre super wenn ihr diese bestätigen könntet.
Des weiiteren habe ich bei der 3)b Ansatzprobleme.

1) $\begin{eqnarray*} P( 105,25 < R < 94,75) = P(1,75 < T < -1,75) = 0,9198 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} a = 6,51 \end{eqnarray*}$

3) a)

$\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(100, 3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z = 50 \cdot X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z \sim \mathcal N(50 \cdot 100, \sqrt{50 \cdot 3^2}) \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} E(Z) = 50 \cdot E(X) = 50 \cdot 100 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_z = \sqrt{50 \sigma_x^2} \end{eqnarray*}$

3)b)
10 mal Ausschuss bedeutet:
- 10 mal einen Wert größer als 105.25
oder 10mal einen Wert kleiner als 94.75
oder auch gemischt möglich.

Deshalb wäre es wohl einfacher wenn ich die Wahrsch. für 40 Gutteile berechne und dann dies von 1 aubziehe.

aber wie ich nun das Gesetz von oben dazu benutzen kann?

kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

EDIT: Mir ist gerade auf dem Klo ein Geistesblitz erschienen,... vielleicht kann man es so rechnen?

$\begin{eqnarray*} P(5000-50 \cdot 5.25 < 10 \cdot Z < 5000+50 \cdot 5.25) = P(4737.5< 10\cdot Z < 5262.5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(\frac{4737.5-5000}{21.21} < 10T < \frac{5262.5-5000}{21.21} ) = P(-1.237 < T < 1.237) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \Phi (1.237) - \Phi (-1.237) = 0.784 \end{eqnarray*}$

das ist die Wahrscheinlichkeit das 40 Teile maßhaltig sind...

1-0,784 = 0,216 (wahrsch. für 10 Ausschussteile)

stimmt das so?

danke

13.10.2009, 07:18

fraggelfragger

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Kann keiner helfen? Gibt es in der Aufgabe Unschlüssigkeiten?

13.10.2009, 09:02

Huggy

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1) Du hast 1 - gesuchte Wahrscheinlichkeit angegeben.

2) Korrekt!

3) Z ist binomialverteilt. Die Näherung durch die Normalverteilung - meist eh überflüssig - ist hier nicht zulässig, weil die Faustformel npq > 9 nicht erfüllt ist.

Berechne $\begin{eqnarray*} P(X \geq 10) \end{eqnarray*}$ mit der Binomialverteilung. Das ist ein Klacks.

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