Partialbruchzerlegung, mehrfacher komplexer Pol |
| 11.10.2009, 18:08 | phychem | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Partialbruchzerlegung, mehrfacher komplexer Pol Es geht um die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen, die sich als Quotienten reeller Polynome schreiben lassen. Auf Wikipedia findet man eine Anleitung, wie man im Falle komplexer Polstellen Partialbrüche, die komplexe Zahlen enthalten, vermeiden kann (siehe Einleitung): http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung Dies scheint auf den ersten Blick sehr einleuchtend. Dass der Nenner eines solchen "Partialbruches 2.Art" reell ist, verstehe ich. Ich bin auch in der Lage, im Fall einer einfachen komplexen Polstelle zu beweisen, dass der Zähler reell ist. Meiner Meinung nach macht dieses Konzept bei einer mehrfachen komplexen Nullstelle aber überhaupt keinen Sinn. Kann mir jemand erklären, wie der Zähler "b+cx "bei einer mehrfachen komplexen Polstelle zustande kommt? Wie kann man höhere Potenzen von x vermeiden? mfg phychem |
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| 11.10.2009, 20:45 | phychem | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo? Weiss mir hier niemand zu helfen? Ich verzweifle so langsam....Seltsamerweise findet man nirgends entsprechende Informationen...überall wird nur der Fall einer einfachen komplexen Polstelle behandelt. Schon der einfachste Fall, nämlich der einer zweifachen komplexen Polstelle, kann nicht in eine solche Form gebracht werden. ps: Ich weiss, dass die beiden a-Werte zweer komplex konjugierter Polstellen ebenfalls komplex konjugiert sind... |
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| 12.10.2009, 00:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Problem verstehe ich nicht ganz. In dem Wikipedia-Artikel ist auch der Fall einer mehrfachen komplexen Nullstelle aufgeführt. Siehe den Absatz über die s_i fache Nullstelle z_i; beachte dass auch in diesem Fall die komplexen Nullstellen immer paarweise (komplex und konjugiert komplex) auftreten. Daher haben alle Partialbrüche relle Nenner, wenn auch mit höheren Exponenten. Gib mal ein entsprechendes Beispiel an, wo das deiner Meinung nach NICHT funktioniert. mY+ |
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| 12.10.2009, 00:22 | phychem | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Antwort Ich verstehe nicht, wie der Zähler "bx+c" in einem Fall j>1 zustande kommt. Ich weiss zwar, dass a1 und a2 (genau wie die beiden komplexen Polstellen) zueinander konjugiert sind, ich kann aber nicht nachvollziehen, weshalb x nur in einfacher Potenz im Zähler enthalten sein soll. |
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| 12.10.2009, 01:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das funktioniert doch analog wie bei den rellen Nullstellen. Wenn du wieder mit dem Hauptnenner rückmultiplizierst, wirst du sehen, dass sich dies mit dem Grad der Zähler genau ausgeht, also die Zähler maximal um einen Grad niedriger sein werden als der (Haupt)Nenner. Beispiel: Da gibt es eine doppelte komplexe Nullstelle (mit noch zwei doppelten komplexen Nullstellen, also insgesamt 4). Addiere mal die Brüche ... der erste Zähler wird vom Grad 3 werden, der zweite bleibt unverändert. Zerlege darauf aufbauend einmal die gebr. rat. Funktion in die beiden Partialbrüche, dann wird dir dabei einiges alles klar werden. mY+ |
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