sin³x*cos²x Subst.

11.10.2009, 18:14

-Ich-

sin³x*cos²x Subst.

ich hab wieder mal ein problem beim substitutionsverfahren für
$\begin{eqnarray*} sin³x*cos²x \end{eqnarray*}$

könntet ihr mir da einen ansatz liefern,weil ich damit irgendwie überhaupt nicht klar komm

11.10.2009, 18:24

Mazze

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Ich würde garnicht substituieren. Mit den Identitäten

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = (1 - \sin^2(x)) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sin^3 x = \frac{1}{4}\ \Big(3 \sin x - \sin (3x) \Big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin^5 x = \frac{1}{16}\ \Big(10\, \sin x - 5 \sin (3x) + \sin (5x) \Big) \end{eqnarray*}$

kommt man völlig ohne Substitution aus.

11.10.2009, 18:29

Rare676

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RE: sin³x*cos²x Subst.
Ich wüsste gerne zunächst warum da was substituiert werden muss... Ich find das so auch ganz schön... Big Laugh

11.10.2009, 18:33

-Ich-

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ich soll die aufgabe aber mittels substitutionsverfahrens lösen
könntest du versuchen die aufgabe mittels subst. zu lösen also mir einige ansätze liefern auch wenns vllt komplizierter is als nötig?

edit:
mal davon abgesehn weiß ich nicht wie ihr auf die 3.zeile kommt ?

11.10.2009, 18:52

Mazze

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Probiers mal mit der Generalsubstitution.

11.10.2009, 18:56

Rare676

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Entschuldigt, dass ich frage. Aber...was ist denn überhaupt die hier anscheinend allseits bekannte Aufgabenstellung?

11.10.2009, 18:57

Mazze

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Ich vermute er will das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \sin^3(x)\cos^2(x) dx \end{eqnarray*}$

lösen. Er hat ja heute schon mal eine Integralaufgabe gestellt. Aber das ist natürlich nur geraten Augenzwinkern

11.10.2009, 19:00

-Ich-

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oh sry hab ich vergessen dazu zu schreiben
ja wollte das integral mittel subst. herauskriegen

11.10.2009, 19:23

Ungewiss

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Ohne Generalsubstitution gehts auch so

$\begin{eqnarray*} \int \sin^3(x)\cos^2(x) \dd x=-\int(-\sin(x))\left(\cos(x)^2-\cos(x)^4\right)\dd x \end{eqnarray*}$

Und dann eben $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ substituieren.

11.10.2009, 19:27

-Ich-

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Zitat:

Original von Ungewiss

$\begin{eqnarray*} \int \sin^3(x)\cos^2(x) \dd x=-\int(-\sin(x))\left(\cos(x)^2-\cos(x)^4\right)\dd x \end{eqnarray*}$

wie kommst du da drauf ...?

11.10.2009, 19:32

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} \sin(x)^2=(1-\cos(x)^2) \end{eqnarray*}$

Das Integral hat dann die Form:
$\begin{eqnarray*} \int(\cos(x))'\cdot f(\cos(x))\dd x \end{eqnarray*}$
und die lässt sich in diesem Fall leicht integrieren.

11.10.2009, 19:40

-Ich-

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irgendwie bringen mich eure ansätze nicht weiter...
ich kapiers einfach net unglücklich

11.10.2009, 19:50

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Wieviel Motivation brauchst du denn noch, um endlich den guten Ratschlag "Substitution $\begin{eqnarray*} u=\cos(x) \end{eqnarray*}$ " zu befolgen? Tu es einfach, im Erfolg wirst du dann den Sinn dieses Vorgehens (hoffentlich) sehen. Augenzwinkern

11.10.2009, 20:18

-Ich-

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so ich habs mal versucht aber habe jetzt nicht jeden einzelnen schritt aufgeschrieben da mir dafür die geduld fehlt

$\begin{eqnarray*} \int~cos²x*(1-cos²x)(sinx)~dx \end{eqnarray*}$

danach u=cos x und du= -sinx dx

$\begin{eqnarray*} \int~u²(1-u²)~(-du) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~(u^{4}-u²)~du \end{eqnarray*}$

hab ich da schon einen fehler drinne oder stimmts ?

11.10.2009, 20:24

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Stimmt.

11.10.2009, 20:36

-Ich-

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so und zum schluss noch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} u^{5}- \frac{1}{3} u^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{cos^5x }{5 } - \frac{cos^3x }{3 } \end{eqnarray*}$

das wäre mein ergebnis allerdings stimmt das glaub ich nicht weil beim differenzieren dann wieder was anderes raus kommt

was hab ich falsch gemacht?

11.10.2009, 20:43

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Das Ergebnis stimmt.

Zitat:

Original von -Ich-
allerdings stimmt das glaub ich nicht weil beim differenzieren dann wieder was anderes raus kommt

Diese falsche Ansicht kommt nur daher, weil du anscheinend auf Kriegsfuß mit den Additionstheoremen stehst. Hier brauchst du lediglich den oben bereits erwähnten trigonometrischen Pythagoras

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

um einzusehen, dass die Probe erfolgreich verläuft.

11.10.2009, 20:49

-Ich-

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achso stimmt,dass schein ich irgendwie immer zu vernachlässigen

thx an euch alle Augenzwinkern

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sin³x*cos²x Subst.

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