Diagonale eines Quadrates=2*Seite??

11.10.2009, 20:20	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
*Diagonale eines Quadrates=2Seite??** Hallo zusammen, ich mache mir schon lange Gedanken über folgendes "Paradoxon": Wir stellen uns zwei Seiten eines Quadrates vor, die zueinander benachbart sind. Jetzt bauen wir eine Treppe mit n Stufen zwischen den beiden "Enden". Diese Treppe hat die Länge 2Seite, da sie aus zueinander rechtwinkligen Abschnitten besteht, die abwechselnd ein Stück nach oben und ein Stück zur Seite führen (Was für eine Treppe ja normal ist). Wenn man jetzt aber die Anzahl der Treppenstufen n gegen unendlich konvergieren lässt, erhalten wir ja die Diagonale des Quadrates, die aber - entgegen des Satzes des Pythagoras, der Dreiecksungleichung und der Realität - als Länge 2Seite hat. Wo liegt mein Denkfehler?
11.10.2009, 21:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Diagonale eines Quadrates=2Seite??** Wir haben also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a und b. Die Diagonale (Treppengrenzwert) sei c, so dass wir Pythagoras wie bekannt formulieren können $\begin{eqnarray} c = \sqrt{a^2+b^2},~a,b >0 \end{eqnarray}$ Nun deine Idee der Treppe. n gleichhohe und gleichlange Stufen $\begin{eqnarray} L(n)=\frac{a}{n},~H(n)=\frac{b}{n} \end{eqnarray}$ Diese Stufen sitzen nun aber doch auf der Diagonalen c auf. D.h. das Treppenstück bekomme ich dann mit $\begin{eqnarray} T(n)=\sqrt{(\frac{a}{n})^2 +(\frac{b}{n})^2} = \frac{1}{n} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Summierung der n Treppen ergibt dann wieder die gewünschte Diagonale c. Imho liegt der Fehler in der Annahme. Es ist c nicht der Grenzwert der Stufenhöhe und Länge. Diese Summe ist immer Konstant a+b.
11.10.2009, 23:46	Quizzmaster42	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir aber grade was überlegt, wie man zeigen kann, dass c (geometrisch gesehen) doch der Grenzwert für die Höhe und Länge der Treppenstufen ist (wobei die summe, wie du sagtest, natürlich immer bei a+b liegt): Nehmen wir hierfür die äußeren "Ecken". Zwischen diesen verringert sich der Abstand mit steigendem n. Die nächst höhere Ecke liegt immer $\begin{eqnarray} \frac{a}{n} \end{eqnarray}$ höher und $\begin{eqnarray} \frac{a}{n} \end{eqnarray}$ weiter links/rechts, je nachdem, wo hin die Treppe führt. (Steigung=1 bzw. -1) Für $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{a}{n} = 0 \end{eqnarray}$ (Die Punkte bilden eine Gerade, da die Steigung zwischen ihnen konstant bei 1 bzw. -1 liegt.) Die Punkte der unteren Ecken rutschen aufgrund der verringerten Seitenlängen ebenfalls auf diese Gerade, da der Abstand zu den oberen Ecken gegen null geht. Ich weiß dass diese Rechnung irgendwo einen Fehler haben MUSS, aber ich finde ihn nicht.
12.10.2009, 00:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist hat das tückische mit der Grenzwertrechnung. Die Dreiecke werden immer kleiner, die Höhe geht gegen 0, die Stufenkanten rutschen Richtung der Diagonalen. Dennoch bleibt die Summer aus Höhe und Länge gleich und deren Grenzwert ist nicht die Diagonale.
12.10.2009, 15:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Schüler sicher kaum verständlich, ich sag es trotzdem zunächst mal so: Für die Konvergenz der Kurvenlängen ist die Konvergenz der Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n \to f \end{eqnarray}$ nur im Raum $\begin{eqnarray} C^0 \end{eqnarray}$ nicht ausreichend, das Beispiel zeigt es deutlich. Gilt diese Konvergenz dagegen in $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ , dann ist das hinreichend - aber diese Konvergenz liegt hier bei der verfeinerten Treppenstufenfolge nicht vor.

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