Integration von sin²(x) oder sin³(x)

11.10.2009, 18:47

Physinetz

Integration von sin²(x) oder sin³(x)

Hallo habe mal ne Frage wie man die beiden Funktionen am besten integriert.

Also zu sin²(x) , dass kann man ja auch mittels partieller Integration machen...

Wie würde dass aber mit Substitution funktionieren?

Ich würde setzten sin²(x) = u -- > Nun Ziel: dx wegbekommen, dazu: u'=(sin²(x)) ' = du/dx ... dann nach dx auflösen und hier ersetzen

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u²~dx \end{eqnarray*}$

Funktioniert das?Oder gibts da andere Methoden? Im Prinzip kann man doch jedes Integral durch Substituieren lösen?

Gruß Physi

11.10.2009, 18:53

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Nein, diese Substitution bringt nichts: Die von dir noch nicht durchgeführte, aber zur Substitution eben dazugehörende unvermeidliche Transformation von $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \dd u \end{eqnarray*}$ macht das Integral komplizierter als das Ausgangsintegral:

$\begin{eqnarray*} \dd u = 2\sin(x)\cos(x) ~ \dd x = 2\sqrt{u(1-u)} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

und somit dann

$\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^2(x) ~ \dd x = \int \frac{u}{2\sqrt{u(1-u)}} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

Das war also nix, aber so ist es eben beim Integrieren: Mancher Weg führt in die Irre. Augenzwinkern

11.10.2009, 19:01

Physinetz

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Wie würdest du dann vorgehen? Erstmal die Ableitung bilden von sin³(x) und dann schaun wie es passt oder wie?

Gruß und Danke dir

11.10.2009, 19:03

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Bisher ging es um $\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^2(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , nun plötzlich um $\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^3(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ . Entscheide dich mal, denn das Vorgehen unterscheidet sich bei beiden Integralen beträchtlich - auch wenn das dem Laien zunächst nicht verständlich sein mag. Augenzwinkern

11.10.2009, 19:52

Physinetz

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ja im prinzip brauch ich für beides die Lösung, also du darfst es dir aussuchen ;-)

Gruß

11.10.2009, 20:05

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Ok, erstmal zu $\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^2(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ : Zum Erfolg führt hier die von dir bereits oben genannte partielle Integration ODER aber auch der überlegte Einsatz bekannter Additionstheoreme wie etwa $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^2(x) ~ \dd x = \int ~ \left( \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2} \right) ~ \dd x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^3(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ist ein analoges Vorgehen wie heute hier gesehen zu empfehlen, also Substitution $\begin{eqnarray*} v = \cos(x) \end{eqnarray*}$ basierend auf der Vorüberlegung

$\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^3(x) ~ \dd x = \int ~ \sin(x)\cdot (1-\cos^2(x)) ~ \dd x = - \int ~ (\cos(x))'\cdot (1-\cos^2(x)) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

12.10.2009, 14:14

Physinetz

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$\begin{eqnarray*} \int ~ \sin^3(x) ~ \dd x = \int ~ \sin(x)\cdot (1-\cos^2(x)) ~ \dd x = - \int ~ (\cos(x))'\cdot (1-\cos^2(x)) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .[/quote]

Wie kommst du auf das Ergebnis hinter dem letzten Gleichheitszeichen, beginnend mit "Minus Integral..."

12.10.2009, 14:26

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Zitat:

Original von Physinetz
Wie kommst du auf ...

Erfahrung im Erkennen von Strukturen

$\begin{eqnarray*} \int ~ f(g(x))\cdot g'(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

hier im Fall $\begin{eqnarray*} g(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

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