Berechnungen mit komplexen Zahlen

11.10.2009, 20:50

geo

Berechnungen mit komplexen Zahlen

hallo!

ich hab hier ein problem mit einigen aufgaben zu den komplexen zahlen:

berechne:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{i^{3} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt[i]{-i} \end{eqnarray*}$
sin(i)
$\begin{eqnarray*} (2i)^2i \end{eqnarray*}$
sin ( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ /2 + i*ln 2)

nun gut, das sind ja nicht komplexe zahlen, wo ich jeweils imaginär und realteil sehe. wie soll ich das dann berechnen?

zur ersten aufgabe: muss ja egtl als ergebnis die wurzel aus i sein oder? also die wurzel aus der wurzel von -1
bei rest weiß i nit wie, weil den de moivre kann i irgendwie nit verwenden, oder?
hab ja kein argument und so....

weiters wollte ich fragen, ob es eine gute erklärung (ev im netz) zum hauptwert gibt.
ich soll nämlich die hauptwerte von je:

ln (ie)
ln (i^2i) und
i^i berechnen und kann mit meinen unterlagen dazu nix anfangen... unglücklich

((

bin für eure hilfe sehr dankbar!!!!

lg

11.10.2009, 23:45

mYthos

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Hallo,

fangen wir mal mit 1) an, da liegst du leider schon falsch. Berechne doch zuerst einmal $\begin{eqnarray*} i^3 \end{eqnarray*}$ und gehe danach das Wurzelproblem an.
Stelle die komplexen Zahlen in der Exponentialform* dar. Dabei können die Potenzgesetze Anwendung finden. Teilweise kann auch mit der Moivre'schen Beziehung gerechnet werden, wenn eine trigonometrische Darstellung sinnvoll erscheint.

Beachte, dass

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = e^{i(\varphi + 2k \pi)} \ \text{mit} \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dir die Frage nach dem Hauptwert vermutlich bereits selbst beantworten.

Zum anderen kommen wir, wenn du die erste Aufgabe mal erledigt hast ...
______________________________

Grüße aus dem Süden von Wien!

mY+

12.10.2009, 11:30

geo

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hallo!

also: $\begin{eqnarray*} i^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} - i \end{eqnarray*}$
die wurzel draus: $\begin{eqnarray*} sqrt (-i) = (-i)^(1/2) \end{eqnarray*}$
wenn ich mir jetzt de moivre anschau, wäre ich verleitet zu sagen, dass das ergebnis= $\begin{eqnarray*} (-i/2) \end{eqnarray*}$ ist

dementsprechend hätte ich für das 2. bsp: $\begin{eqnarray*} [(i)^(1/2)]^(1/i) \end{eqnarray*}$
kann man noch vereinfachen zu $\begin{eqnarray*} i^(1/2i) \end{eqnarray*}$ ????

hab das gefühl, dass ich vollkommenen blödsinn baue... irgendwie kommt mir komisch vor...

beim sinus von i tu ich mir schwer: was ist da gemeint? auch bei den restlichen fragen, weiß ich nicht genau, was mit "berechne" gemeint ist. einfach andere schreibweise??

der hauptwert bei deinem bsp wäre ja $\begin{eqnarray*} i*(phi) \end{eqnarray*}$ , oder?
der hauptwert ist doch die lösung mit dem kleinsten positiven phi...
also wäre der hauptwert nicht $\begin{eqnarray*} i*(phi + 2*k*PI) \end{eqnarray*}$

nein, ich verstehe es nicht verwirrt

lg aus dem norden von wien (wobei im moment grad im süden weil in der arbeit - nebenbei: mathe und arbeit verträgt sich zugleich nicht gut Hammer

)

12.10.2009, 13:54

mYthos

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Ja, der Hauptwert ist der erste Wert innerhalb der 4 Quadranten.
Bei der Lösung von Gleichungen der Art $\begin{eqnarray*} z^n = a + bi = r e^{i (\varphi + 2k \pi)} \end{eqnarray*}$ müssen alle Winkel $\begin{eqnarray*} \frac \varphi n + \frac{2k \pi} n \end{eqnarray*}$ mittels k so lange bestimmt werden, bis der Kreis, den alle Lösungen beschreiben, genau ein Mal durchlaufen wurde, denn dabei gibt es n Lösungen (Kreisteilungsgleichung, Bestimmung der Einheitswurzeln).
Das gilt nun auch in deinem 1. Beispiel, wobei deine vermutete Lösung $\begin{eqnarray*} -\frac i 2 \end{eqnarray*}$ nicht stimmen kann. Quadriere dies doch, und du siehst sofort, dass $\begin{eqnarray*} \frac{i^2} 4 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ ergibt.

Schreibe entweder $\begin{eqnarray*} -i = \cos \frac{3 \pi} 2 + i \sin \frac{3 \pi} 2 \end{eqnarray*}$ und wende Moivre an (dieser gilt nämlich auch für rationale Exponenten) oder gehe auf die Exponentialschreibweise über:

$\begin{eqnarray*} -i = e^{i(\frac{3 \pi} 2 + 2k \pi)} \end{eqnarray*}$

Beim Wurzelziehen hat man schließlich den Exponenten nur noch durch 2 zu dividieren und für k = {0, 1} zu nehmen (warum?). Nicht vergessen, vom Resultat wieder auf die Binomialform umzurechen, falls das Ergebnis in der Form a + bi, also mit Real- und Imaginärteil, erscheinen soll.

Vielleicht wird dir jetzt auch das zweite Beispiel leichter fallen. Dessen Ergebnis von dir stimmt leider auch nicht (das Minus vor dem i vergessen); und das Resultat ist weiter zu entwickeln. Ich verrate dir, dass es reell ist.

mY+

12.10.2009, 14:01

geo

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vielen dank erstmal!

ich glaub, bei mir haperts weniger am lernwillen als am verständnis und dementsprechend an der vorstellungskraft bzw am umsetzungsvermögen.

eine frage, bevor ich weiter versuche:

warum ist -i = cos (3*pi /2)....

warum 3 * PI ?

lg, geo

12.10.2009, 14:06

geo

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aaaaaaaaaaah, sorry... klar, bin nur auf der leitung gesessen....
das arganddiagrammm....

entschuldigung

Hammer

12.10.2009, 14:09

mYthos

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Kennst du die Gauß'sche Zahlenebene (waagrecht: Reelle Achse, senkrecht: Imaginäre Achse)?. Wenn du dort -i einträgst, siehst du, dass dessen Zeiger mit der reellen Achse einen (positiven, entgegen dem Uhrzeiger durchlaufenen) Winkel von 270° einschließt. Rechne diesen mal ins Bogenmaß um ...

Freilich kann auch geschrieben werden:

-i = 0 + (-1)i = cos (270°) + i sin(270°)

wodurch dieser Winkel ebenfalls bestätigt wird.

mY+

12.10.2009, 14:43

geo

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ja, siehe oben... das ist mir klar... danke!

ich denk mir jetzt den rest durch.

das ermitteln aller lösungen ist mir in der theorie klar. in dem fall die frage, warum gehts hier um k = 0, 1 weils immer n-1 lösungen sind.

aber seh ich das richtig, dann bleibt das erste ergebnis bei der wurzel von (-i) ?

das nächste bsp baut dann ja quasi darauf auf: ich soll ja die i-te wurzel aus -i berechnen.
es müsste hier also i-1 lösungen geben.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[-i]{i} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-i)^{(1/i)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} | -i |^{(1/i)} * e^{(1/i) * i(\pi + 2k\pi)} \end{eqnarray*}$

= -i * ( cos (pi/i + 2kpi/i) + i*sin (pi/i + 2kpi/i) )

na, i dreh mi im kreis oda?

ok, bevor ichs lösch, lass ichs lieber stehen...

ich wende de moivre auf die zeile von -i = cos ... an und erhalte
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} = cos(3\pi /4 + i * sin(3\pi /4) \end{eqnarray*}$
weil ich das ja mit mal (1/2) mutlipliziere...

hiermit hätte ich als die 2 lösungen :

a) $\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} = cos(3\pi /4 + i * sin(3\pi /4) \end{eqnarray*}$ und
b) $\begin{eqnarray*} \sqrt{-i} = cos(6\pi /4 + i * sin(6\pi /4) \end{eqnarray*}$

soweit so schlecht?

lg

12.10.2009, 14:59

mYthos

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Also, zu 1)

a) ist richtig
b) wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{6 \pi} 4 \end{eqnarray*}$ ? Die beiden Lösungen liegen um 180° auseinander, daher ist die zweite gleich der negativen ersten. Bzw. muss zu $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi} 4 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ addiert werden, das ergibt bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{7 \pi} 4 \end{eqnarray*}$ .
___________________________

Bei 2) kann man nicht sagen, dass es i Lösungen gibt, denn i ist ja keine natürliche Zahl. Allerdings gibt es natürlich auch unendlich viele Möglichkeiten. Nimm in diesem Fall die erste.

Weshalb du dann von $\begin{eqnarray*} \sqrt[-i] {i} \end{eqnarray*}$ ausgehst, weiss ich zwar nicht, aber es ist tatsächlich dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \sqrt[i] {-i} \end{eqnarray*}$ . Hast du das wirklich durchgeblickt? Du kannst aber auch -i zunächst als e-Potenz schreiben (das habe ich dir ja schon gezeigt) und dann den Exponenten einfach durch i dividieren, und schon ist es gut. Big Laugh

mY+

12.10.2009, 15:14

geo

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zu b) war denkfehler meinerseits - $\begin{eqnarray*} 3 \pi /4 + 4 \pi /4 \end{eqnarray*}$ ist no na $\begin{eqnarray*} 7 \pi /4 \end{eqnarray*}$
Hammer

zu 2)

$\begin{eqnarray*} -i = e^{( 3 \pi / 2 + 2*k* \pi )} \end{eqnarray*}$

wie geh ich nun bei $\begin{eqnarray*} sin(i) \end{eqnarray*}$ vor?

ich hab da bereits ein ergebnis, aber keinen schimmer warum wie woher....
$\begin{eqnarray*} sin(i)= 1/2i *(e ^{i*i} - e^{(-i)*i} = 1/2i * (1/e -e) \end{eqnarray*}$

Forum Kloppe

ich kann die argumentationen von vorhin verstehen, sehe die fehler ein und dennoch tu ich mir schwer bei einer neuen aufgabe das gelernte anzuwenden....

es ist zum traurig

12.10.2009, 15:25

mYthos

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Du kannst 2) noch weiter berechnen, es ist eine reelle Zahl. Setze k = 0, dann bekommst du die erste Lösung. Allerdings stimmt deine Gleichung nicht, es ist nicht -i.

Zum anderen äußere ich mich später, denn ich bin mal eine Weile weg.

mY+

12.10.2009, 16:49

mYthos

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Für $\begin{eqnarray*} \sin (i) \end{eqnarray*}$ nütze den Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} \sin (ix) = i \sinh (x) \end{eqnarray*}$

Diese Identität ergibt sich durch den Vergleich der beiden Potenzreihen für sin(x) [-> sin(ix)] und sinh (x) [-> i sinhh (x)]. In die Reihen ist statt x das komplexe Argument ix einzuführen.

Im Beispiel ist dann x durch 1 zu ersetzen.
Verwende zuletzt $\begin{eqnarray*} \sinh (x) = \frac{e^x - e^{-x}} 2 \end{eqnarray*}$

mY+

13.10.2009, 10:42

geo

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hallo!

das hab ich jetzt erstmal geschafft:

bei $\begin{eqnarray*} 2i^{2i} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} sin(\pi /2 + i* ln 2) \end{eqnarray*}$

kann ich hier bei dem sinusbeispiel wie beim sin(i) verfahren, nur halt mit anderem klammerausdruck?
eher nicht denk ich...

steh i schon wieder an,
genauso wie beim hauptwert berechnen von:

$\begin{eqnarray*} ln (ie) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln (i^{2i}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (i^{i}) \end{eqnarray*}$

bin für tips gern zu haben...

danke Wink

_____________________________________________________

also meine überlegungen sind: (bezüglich der hauptwertaufgaben)

$\begin{eqnarray*} ln (ie) \end{eqnarray*}$ .... ie sei mein z und wenn ich von diesem z das r ausrechne, bekommen ich e (da ja RE(z)=0 und sonst bleibt nur mehr (ie) und die wurzel aus e^2 ist e)

ich komme auf den hauptwert von $\begin{eqnarray*} i\theta + e \end{eqnarray*}$

beim zweiten beispiel komm ich noch nicht drüber

beim dritten beispiel komme ich auf einen hauptwert von $\begin{eqnarray*} e^{-( \pi /2 )} \end{eqnarray*}$
also einen reellen hauptwert.

bin i ungefähr auf spur?

danke und lg

Edit (mY+): Bitte keine Doppelposts; verwende die Edit-Funktion. Beiträge zusammengeführt.

13.10.2009, 19:54

mYthos

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Zitat:

Original von baphomet
Falls Interesse besteht, hab hier ein kleines Programm, das mit komplexen Zahlen rechnet ...
...

@baphomet
Danke sehr; ich verschiebe aber deinen Beitrag in die Software-Ecke - Programme, dort ist er besser aufgehoben..

Berechnungen mit komplexen Zahlen

@geo
Sorry, ich war heute verhindert, ins Board zu kommen. Ich werde mich aber selbstverständlich noch mit deinen Fragen befassen, das kann aber noch etwas dauern ...

Gr
mY+

13.10.2009, 22:50

mYthos

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Zitat:

Original von geo
hallo!

das hab ich jetzt erstmal geschafft:

bei $\begin{eqnarray*} 2i^{2i} \end{eqnarray*}$
...

Würd' mich interessieren, wie du das gerechnet hast und was dabei herausgekommen ist.

Zitat:

...
und
$\begin{eqnarray*} sin(\pi /2 + i* ln 2) \end{eqnarray*}$

kann ich hier bei dem sinusbeispiel wie beim sin(i) verfahren, nur halt mit anderem klammerausdruck?
eher nicht denk ich...
...

Doch, es funktioniert so. Allerdings ist erst mit einem Additionstheorem die Summe im Argument aufzulösen.

$\begin{eqnarray*} \sin(\frac \pi 2 + i \ln 2) = \sin \frac \pi 2 \cos (i \ln 2) + \cos \frac \pi 2 \sin (i \ln 2) \end{eqnarray*}$

Verwende dann zu der bereits bekannten Beziehung des Sinus eines komplexen Argumentes auch die des Cosinus: $\begin{eqnarray*} \cos (ix) = \cosh x \end{eqnarray*}$

Zitat:

...
$\begin{eqnarray*} ln (ie) \end{eqnarray*}$ ....
...
ich komme auf den hauptwert von $\begin{eqnarray*} i\theta + e \end{eqnarray*}$

Nein, das ist nicht richtig. Und was ist das für ein Winkel? Wende doch einfach das Logarithmengesetz an:

$\begin{eqnarray*} \ln (ie) = \ln i + 1 = \ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt ist noch $\begin{eqnarray*} \ln i \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Setze dazu $\begin{eqnarray*} i = e^{i \frac \pi 2} \end{eqnarray*}$ . Jetzt wird's aber gehen ...

Zitat:

...
beim zweiten beispiel komm ich noch nicht drüber

Wieder Logarithmengesetz:

$\begin{eqnarray*} \ln (i^{2i}) = 2i \ln i = \ldots \end{eqnarray*}$

Zitat:

...
beim dritten beispiel komme ich auf einen hauptwert von $\begin{eqnarray*} e^{-( \pi /2 )} \end{eqnarray*}$
also einen reellen hauptwert.

Das stimmt.

mY+

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