Alterniernd harmonische Reihe

11.10.2009, 21:31

Nani

Alterniernd harmonische Reihe

Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem.
Und zwar soll ich durch Umordnen die alterniernd harmonische Reihe gegen 0 konvergieren lassen.
Ich weiss wie es geht:
Man nimmt einen positiven Summanden, und zieht so lange einen negativen Summanden ab, bis man wieder unter 0 ist, dann wieder einen positiven danzu etc.

..nun kommt das peinliche: ich bin bereits seit einer halben Stunde dran, immer weiter zu rechnen, und ez bereits sehr nahe bei 0, aber nie = 0 .
Gibt es eine abgekürzte Schreibweise, mit der ich zeigen kann, dass die Reihe gegen 0 konvergieren kann, oder wie zeige ich am besten, dass sie gegen 0 konvergiert (und ich nicht noch stundenlang weiter rechnen muss, ohne wahrscheinlich je mals wirklich zum Ziel zu gelangen?) ?

Herzlichen Dank für die Hilfe! smile

11.10.2009, 21:45

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Zitat:

Original von Nani
Gibt es eine abgekürzte Schreibweise, mit der ich zeigen kann, dass die Reihe gegen 0 konvergieren kann

Ja: Gieße einfach deine richtige Idee

Zitat:

Original von Nani
Ich weiss wie es geht:
Man nimmt einen positiven Summanden, und zieht so lange einen negativen Summanden ab, bis man wieder unter 0 ist, dann wieder einen positiven danzu etc.

in eine ordentliche Beweisform. Genau das ist hier im Board auch schon mal besprochen worden, und zwar für eine beliebige konvergente, nicht absolut konvergente Reihe - vielleicht findest du das mit Hilfe der Boardsuche.

11.10.2009, 21:54

Nani

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Du meinst nicht per Zufall das:

matheboard.de/thread.php?threadid=43421&hilight=alternierend+harmonische+reihe

oder?

..also meine konkrete Aufgabe lautet, ich solle die Glieder der alternierend harmonischen Reihe so umstellen, dass eine Reihe mit Summe 0 entsteht.
Reicht das nicht aus, so wie ich es gemacht habe, also bis auf 0.0007 (oder ähnlich) genau?
..ich wäre andernfalls wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand zeigen könnte, wie das in richtiger Schreibform aussehen würde..

11.10.2009, 22:49

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Nein, den Thread meine ich nicht.

Zum Beweis, mal ganz grob die Idee: Die bereits nach der von dir genannten Vorgehensweise umgeordnete Reihe sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ genannt, mit den Partialsummen $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ . Dann gilt eben wegen deines Konstruktionsprinzips

$\begin{eqnarray*} |s_n| \leq \max( |s_{n-1}|, |a_n| ) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ,

wobei für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im besonderen sogar der zweite Teil $\begin{eqnarray*} |s_n| \leq |a_n| \end{eqnarray*}$ zutrifft. Beides zusammen führt zum gesuchten $\begin{eqnarray*} |s_n| \to 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, das ist die Grobskizze, die gewiss technisch noch etwas auszuschmücken ist. Augenzwinkern

11.10.2009, 22:59

Nani

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Hmm okey..
schau: ich habe mir mittlerweile das durchgeschaut: (setz vorne noch www .)

iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis2/vorlesung-ana2/node16.html

..aber das ist nicht unbedingt das gleiche Vorgehen..

Egal - deine Grobskizze ist verständlicher, und ich werde versuchen, sie noch etwas "auszuschmücken" smile

Herzlichen Dank!

11.10.2009, 23:04

Nani

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Ah - hast du den Königsberger (Analysis I) ?
..auf Seite 63 (Konvergenzkriterium von Leibniz) hat es einen Beweis, der gerade zu diesem Thema ist - meinst du, den kann ich benutzen?

11.10.2009, 23:10

Nani

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ahhh..alles klar, vielen Dank!
Ich habs gerade Begriffen..und ich Dummkopf schreibe mir da 2 A-4 Seiten voll, wenn es in 3 Zeilen gehen würde :P
..dankeschöön!

11.10.2009, 23:30

Nani

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Eine andere Frage, die ich aber (aus Interessensgründen) noch hätte, wäre:
Man könnte doch dann die alternierende harmonische Reihe auch so umstellen, dass sie nicht konvergiert, sondern divergiert - nicht?

Wie würde man das denn machen?

12.10.2009, 12:01

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Auch kein Problem. Welche Divergenz wünschst du denn - bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ oder unbestimmte Divergenz, alles möglich.

Mal zum ersten, der bestimmten Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ :

Du gibst dir irgendein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ und summierst solange die positiven Glieder, bis du $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ überschreitest. Dann summierst du solange negative Glieder, bis du $\begin{eqnarray*} C/2 \end{eqnarray*}$ unterschreitest. Jetzt ersetzt du $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2C \end{eqnarray*}$ und fährst wieder mit dem Summieren der nächsten anstehenden positiven Glieder fort ...

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