Reihenentwicklung für tan x

07.06.2004, 20:02	winterstone	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenentwicklung für tan x Hallo, kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Ich suche eine Reihenentwicklung für tan x... bzw. den Weg dahin. Ich weiß: $\begin{align} tan x = x+ 1/3x^3 + 2/15x^5 +... \end{align}$ aber wie komme ich da hin? ich weiß auch $\begin{align} tan x = (sin x)/(cos x) \end{align}$ und $\begin{align} sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! +...-... \end{align}$ sowie $\begin{align} cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +...-... \end{align}$ aber ich weiß nicht recht damit was anzufangen... gruß
08.06.2004, 12:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, siehe mal, was unter http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=2552 in diesem Board dazu geschrieben wurde. Gr mYthos
08.06.2004, 13:26	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du denn die Bernoullizahlen? Diese braucht man nämlich für das allgemeine Bildungsgesetz (das somit, entgegen Leopolds Behauptung in dem von mythos verlinkten Thread, existiert).
08.06.2004, 13:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ winterstone Welcher Weg zur Berechnung der tan-Reihe für dich gangbar ist, hängt natürlich von deinen Vorkenntnissen ab. Wenn du von Reihen kaum Ahnung hast, bleibt dir wohl nur der Weg über die Taylor-Formel und die mühsame Berechnung der Ableitungen von tan x. Wenn du dagegen mit der Reihenrechnung vertraut bist, geht es viel schneller. Ich setze daher die sin- und cos-Reihe als bekannt voraus. Da sin ungerade und cos gerade ist, ist ihr Quotient tan ungerade. Daher kann man folgendermaßen ansetzen: $\begin{align} \sin x \ = \ x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~{\frac{(-1)^{n}}{(2 n +1)!} \cdot x^{2 n}} \ \ , \ \ \cos x \ = \ \sum_{n=0}^{\infty}~{\frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} \cdot x^{2 n}} \ \ , \ \ \tan x \ = \ x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~{t_{n} \cdot x^{2 n}} \end{align}$ mit unbekannten Koeffizienten $\begin{align} t_{n} \end{align}$ . Indem man jetzt in tan x = sin x / cos x mit cos x multipliziert, erhält man $\begin{align} x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~{t_{n} x^{2 n}}\ \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~{\frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} \cdot x^{2 n}} \ = \ x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~{\frac{(-1)^{n}}{(2 n +1)!} \cdot x^{2 n}} \end{align}$ , und nach Division durch x und Bildung des Cauchy-Produktes links: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~{\big( \sum_{m=0}^{n}~{\frac{(-1)^{m}}{(2 m)!} \cdot t_{n - m} \big) \cdot x^{2 n}} \ = \ \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{(-1)^{n}}{(2 n +1)!} \cdot x^{2 n}} \end{eqnarray}$ Hier kann man jetzt durch Koeffizientenvergleich die unbekannten Koeffizienten rekursiv ermitteln: $\begin{align} n=0: \ \ \ t_0 \ = \ 1 \end{align}$ $\begin{align} n=1: \ \ \ t_1 - \frac{1}{2} t_0 \ = \ - \frac{1}{6} \end{align}$ $\begin{align} n=2: \ \ \ t_2 - \frac{1}{2} t_1 + \frac{1}{24} t_0 \ = \ \frac{1}{120} \end{align}$ usw.

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