Jordannormalform: warum brauche ich sie und wie kann ich sie aufstellen?

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smiiile Auf diesen Beitrag antworten »
Jordannormalform: warum brauche ich sie und wie kann ich sie aufstellen?
Hallo,
ich habe ein paar Fragen zur Jordannormalform.

Erst einmal schreibe ich kurz auf, was ich weiß:
- man kann nicht alle Matrizen diagonalisieren, aber man kann alle Matrizen auf Jordannormalform bringen.
- Man bringt Matrizen auf Diagonalform, da man dann leichter mit ihnen rechnen kann.
- die Eigenwerte stehen auf der Diagonalen.
- direkt über der Diagonalen stehen in den Jordankästchen nur 1er. Das heißt direkt über der Diagonalen stehen nur 0er oder 1er.
- alle anderen Einträge sind =0.

So, jetzt zu meinen Fragen:
Woher weiß ich, wie ich die Kästchen anordnen muss? Also was ist der Unterschied zwischen:
und

Hier habe ich also den Eigenwert 5 mit der algebraischen Vielfachheit= geometrische Vielfachheit =1.
Und den Eigenwert 3 mit der algebraischen Vielfachheit 2 und der geometrischen Vielfachheit 1.
Die geometrische VF gibt also an, wieviele Jordankästchen ich mit diesem Eigenwert habe und die algebraische VF wie oft der EW auf der Diagonalen steht.

Und woher weiß ich, wenn ich z.B. zwei Kästchen habe, wie groß diese Kästchen jeweils sind?
z.B. hier:
[attach]11462[/attach]

Und woran erkenne ich, dass eine Matrix nicht diagonalisierbar ist?

Ich freue mich über alle Antworten, leichte Beispiele oder hilfreiche Links zur Jordannormalform.

Gruß,
smiiile
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordannormalform: warum brauche ich sie und wie kann ich sie aufstellen?
Hallo!

Vorsicht: Man kann nicht jede Matrix diagonalisieren, sondern nur solche, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Über C sind das alle, da C algebraisch abgeschlossen ist. Über R gibt es aber Matrizen, die man nicht in JNF schreiben kann.

Die JNF einer Matrix ist *bis auf die Anordnung* eindeutig. Die beiden von dir gewählten JNF sind ähnlich. Die Ausgangsmatrix ist also ähnlich zu beiden JNF, die du angibst.

Die Kästchen-Anordnung und -Grösse erkennst du an der Rangpartition. Sagt dir das etwas, oder möchtest du ein Beispiel?

Dass eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, erkennst du daran, dass ihr Minimalpolynom mehrfache Nullstellen hat. Falls das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt, gilt dies auch für das Minimalpolynom und mit diagonalisieren ist nicht.

Andere Möglichkeit: Wenn die geometrische Vielfachheit nicht bei jedem Eigenwert gleich gross ist wie die algebraische, dann ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Praktisch: Du kannst immer die JNF bestimmen. Wenn die Matrix diagonalisierbar ist, ist die JNF eben eine Diagonalmatrix.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordannormalform: warum brauche ich sie und wie kann ich sie aufstellen?
Zitat:
Original von Philipp Imhof
Vorsicht: Man kann nicht jede Matrix diagonalisieren, sondern nur solche, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Über C sind das alle, da C algebraisch abgeschlossen ist. Über R gibt es aber Matrizen, die man nicht in JNF schreiben kann.

Hier meintest Du "in JNF bringen" bzw. "triagonalisieren". Oder? Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordannormalform: warum brauche ich sie und wie kann ich sie aufstellen?
Zitat:
Original von Reksilat
Zitat:
Original von Philipp Imhof
Vorsicht: Man kann nicht jede Matrix diagonalisieren, sondern nur solche, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Über C sind das alle, da C algebraisch abgeschlossen ist. Über R gibt es aber Matrizen, die man nicht in JNF schreiben kann.

Hier meintest Du "in JNF bringen" bzw. "triagonalisieren". Oder? Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.


Hier meinst du "trigonalisieren". Oder? Augenzwinkern
Ja, meinte ich. Finger1
Gruß, Reksilat.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordannormalform: warum brauche ich sie und wie kann ich sie aufstellen?
Mmmh...natürlich! Vielen Dank für die Klarstellung. Er hatte ja schon geschrieben, dass man nicht jede Matrix diagonalisieren könne.

Da war wohl der Beiss-Reflex schneller
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.

Zitat:
Vorsicht: Man kann nicht jede Matrix in JNF bringen, sondern nur solche, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Über C sind das alle, da C algebraisch abgeschlossen ist. Über R gibt es aber Matrizen, die man nicht in JNF schreiben kann.

Das hießt, es kann sein, dass ich in R Matrizen finde, die ich weder diagonalisieren kann, noch auf Jordannormalform bringen kann? Ich dachte es wäre gerade der Sinn der Jordannormalform, dass ich sie von jeder Matrix bestimmen kann..
Meinst du damit, dass ich in R z.B. nicht weiter zerlegen kann, im Komplexen aber die Zerlegung erhalte?
Ist es das, was algebraisch abgeschlossen bedeutet?

Zitat:
Die JNF einer Matrix ist *bis auf die Anordnung* eindeutig. Die beiden von dir gewählten JNF sind ähnlich. Die Ausgangsmatrix ist also ähnlich zu beiden JNF, die du angibst.

ok. Das heißt es ist egal, in welcher Reihenfolge ich die Kästchen anordne.

Zitat:
Die Kästchen-Anordnung und -Grösse erkennst du an der Rangpartition. Sagt dir das etwas, oder möchtest du ein Beispiel?

Ein Beispiel wäre echt super... ich habe hier nämlich zu Rangpartition nicht wirklich was gefunden, trotz google.

Zitat:
Dass eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, erkennst du daran, dass ihr Minimalpolynom mehrfache Nullstellen hat. Falls das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt, gilt dies auch für das Minimalpolynom und mit diagonalisieren ist nicht.

Was ist denn das Minimalpolynom? Beim Diagonalisieren kenne ich nur das charakteristische Polynom. Und dass eine Nullstelle mehrfach auftritt erkennt man an der algebraischen Vielfachheit. Die gibt ja an, wie oft eine Nullstelle auftritt. Ist die also größer als 1, haben wir eine mehrfache Nullstelle.
Ist dann eine Matrix nicht diagonalisierbar, wenn die algebraische VF größer als 1 ist?

Zitat:
Praktisch: Du kannst immer die JNF bestimmen. Wenn die Matrix diagonalisierbar ist, ist die JNF eben eine Diagonalmatrix.

Sprich: Die Diagonalisierung ist ein Spezialfall der Jordannormalform.

ach, ist in JNF bringen das gleiche wie trigonalisieren?
 
 
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das hießt, es kann sein, dass ich in R Matrizen finde, die ich weder diagonalisieren kann, noch auf Jordannormalform bringen kann?


Ja, das ist richtig.

Zitat:
Meinst du damit, dass ich in R z.B. nicht weiter zerlegen kann, im Komplexen aber die Zerlegung erhalte?
Ist es das, was algebraisch abgeschlossen bedeutet?


Ganz genau!

Zitat:
Zitat:
Die JNF einer Matrix ist *bis auf die Anordnung* eindeutig. Die beiden von dir gewählten JNF sind ähnlich. Die Ausgangsmatrix ist also ähnlich zu beiden JNF, die du angibst.

ok. Das heißt es ist egal, in welcher Reihenfolge ich die Kästchen anordne.


Ja. Aber wenn du die Transformationsmatrix angeben musst, müssen die beiden "zusammen passen".

Zitat:
Zitat:
Die Kästchen-Anordnung und -Grösse erkennst du an der Rangpartition. Sagt dir das etwas, oder möchtest du ein Beispiel?

Ein Beispiel wäre echt super... ich habe hier nämlich zu Rangpartition nicht wirklich was gefunden, trotz google.


Also. Nehmen wir die Matrix .

Das charakteristische Polynom ist . Damit sind die Eigenwerte und . Die JNF wird also eine 4x4-Matrix sein, auf deren Diagonale 3x eine 2 und 1x eine 1 steht. Diese beiden Blöcke kannst du vertauschen, du kannst aber die 1 nicht "dazwischenschieben". Vorläufiges Ergebnis: , wobei die Sterne für 1 oder 0 stehen.

Nun stellt sich die Frage, wie der 3x3-Block *genau* aussieht. Dazu bestimmst du die Rangpartition von (A-2I). Es ist:






Wenn der Rang einmal "stehen bleibt", kannst du aufhören -- dann wird er nicht mehr kleiner. Die Rangpartition ist also (2,1), nämlich gerade die Sprünge von 4->2 und von 2->1.

Davon nimmst du die duale Partition (einfachste Möglichkeit: Kästchenmethode; falls nicht gesehen im Kurs, einfach nachfragen). Diese ist ebenfalls (2,1). Also teilt sich der 3er-Block in einen Zweier- und einen Einerblock auf. Damit haben wir die JNF bestimmt, sie ist:

Zitat:
Was ist denn das Minimalpolynom? Beim Diagonalisieren kenne ich nur das charakteristische Polynom. Und dass eine Nullstelle mehrfach auftritt erkennt man an der algebraischen Vielfachheit. Die gibt ja an, wie oft eine Nullstelle auftritt. Ist die also größer als 1, haben wir eine mehrfache Nullstelle.
Ist dann eine Matrix nicht diagonalisierbar, wenn die algebraische VF größer als 1 ist?


Die alg. Vielfachheit im charakteristischen Polynom sagt noch nichts aus. Sie kann "beliebig gross" sein, solange die geometrische Vielfachheit gleich gross ist.

Im Minimalpolynom hingegen darf es keine mehrfachen Nullstellen haben, sonst ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Zitat:
ach, ist in JNF bringen das gleiche wie trigonalisieren?


Korrekt. Die JNF ist ja eine ob. Dreiecksmatrix. Daher der Begriff "trigonalisieren".
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

supervielen Dank für die ausführliche Antwort und das Beispiel. Ich habe die Theorie soweit verstanden, aber beim Beispiel noch einige Fragen.

Und zwar hab ich gleich beim charakteristischen Polynom was andres wie du raus.
Ich habe:
Und zwar habe ich das einfach mit der Regel von Sarrus berechnet. Und da bleibt nur die Diagonale jeweils mit den -lambdas stehen. Der Rest fällt raus, weil da überall eine 0 mitreinmultipliziert wird.
Und dann hätte ich auch ganz andere Eigenwerte nämlich: 3, 2, 2, und 0.
Wie bist du denn auf dein charakteristisches Polynom gekommen und warum schreibst du das Ts rein? Die haben mich etwas verwundert, weil ich dort immer lambdas stehen habe.

Ich rechne jetzt mal mit deinem charakteristischen Polynom weiter.
Zitat:
Das charakteristische Polynom ist . Damit sind die Eigenwerte und . Die JNF wird also eine 4x4-Matrix sein, auf deren Diagonale 3x eine 2 und 1x eine 1 steht. Diese beiden Blöcke kannst du vertauschen, du kannst aber die 1 nicht "dazwischenschieben". Vorläufiges Ergebnis: , wobei die Sterne für 1 oder 0 stehen.

Habe ich verstanden smile

Zitat:
Nun stellt sich die Frage, wie der 3x3-Block *genau* aussieht. Dazu bestimmst du die Rangpartition von (A-2I). Es ist:






ok, ich nehme an das I ist die Einheitsmatrix und den Faktor 2 davor wählen wir, weil wir den Eigenwert 2 untersuchen. Wie bei der Diagonalisierung sonst auch.

Dann ergibt sich

Und der Rang davon ist doch 3, oder?
Du hast aber geschrieben er wäre 4...

So, jetzt muss ich es einmal mit sich selbst multiplizieren, oder?
Dann erhalte ich

Und davon ist der Rang ja 2.

Jetzt rechne ich:

Davon ist der Rang wieder 2. Also bin ich fertig.

ist das so grundsätzlich richtig? Weil ich ganz andere Ergebnisse habe als du... Oder habe ich mich verrechnet?

Der Rang ist ja immer die Anzahl der Zeilen die ungleich 0 sind.

Zitat:
Wenn der Rang einmal "stehen bleibt", kannst du aufhören -- dann wird er nicht mehr kleiner. Die Rangpartition ist also (2,1), nämlich gerade die Sprünge von 4->2 und von 2->1.

Ist klar. Also einfach die Differenz zwischen den Rängen.

Zitat:
Davon nimmst du die duale Partition (einfachste Möglichkeit: Kästchenmethode; falls nicht gesehen im Kurs, einfach nachfragen). Diese ist ebenfalls (2,1).

Also duale Partition hab ich auch noch nicht gehört. Ist das dass, dass man jetzt ein Zweierkästchen und ein 1er-Kästchen nimmt?

Dann habe ich also insgesamt 3 Kästchen:
ein zweierkästchen mit den Werten 2 auf der Diagonalen. Ein Einerkästchen mit der 2 auf der Diagonale und ein Einerkästchen mit der 1 auf der Diagonale.

Die 1 darf ich jetzt aber immernoch nicht zwischen die beiden Zweierblöcke schieben, oder?
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Bitteschön. Mir wurde hier so oft geholfen, dass es schön ist, auch mal auf der anderen Seite zu stehen.

Zitat:
Und zwar hab ich gleich beim charakteristischen Polynom was andres wie du raus.
Ich habe:
Und zwar habe ich das einfach mit der Regel von Sarrus berechnet. Und da bleibt nur die Diagonale jeweils mit den -lambdas stehen. Der Rest fällt raus, weil da überall eine 0 mitreinmultipliziert wird.
Und dann hätte ich auch ganz andere Eigenwerte nämlich: 3, 2, 2, und 0.
Wie bist du denn auf dein charakteristisches Polynom gekommen und warum schreibst du das Ts rein? Die haben mich etwas verwundert, weil ich dort immer lambdas stehen habe.


Ich habe das C.P. noch einmal nachgerechnet, es stimmt. Wahrscheinlich hast du dich verrechnet -- das passiert schnell mal. Bei uns war es üblich, die Unbestimmte in Polynomen mit T zu bezeichnen. Die Lambdas waren dann die Nullstellen (und Eigenwerte).

Zitat:
ok, ich nehme an das I ist die Einheitsmatrix und den Faktor 2 davor wählen wir, weil wir den Eigenwert 2 untersuchen. Wie bei der Diagonalisierung sonst auch


Richtig. steht für die 4x4-Einheitsmatrix. Andernorts wird das manchmal auch mit bezeichnet. Und auch richtig erkannt, woher die 2 kommt.

Zitat:
Dann ergibt sich

Und der Rang davon ist doch 3, oder?
Du hast aber geschrieben er wäre 4...


Vorsicht: Deine Matrix wird hoch Null, hoch Eins, hoch Zwei und hoch Drei gerechnet.

Eine Matrix hoch Null ist die Einheitsmatrix, also voller Rang. Die Matrix hoch Eins (also die reine Matrix wie sie oben steht) hat Rang 2, und nicht 3, denn die erste und letzte Zeile sind linear abhängig.

Das Quadrieren gibt bei mir ein anderes Ergebnis (nämlich ). Rang ist also 1.

Und hoch 3 gibt nochmal das gleiche.

Zitat:

Der Rang ist ja immer die Anzahl der Zeilen die ungleich 0 sind.


Nein. Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen.


Zur dualen Partition und den Kästchen: Du zeichnest deine Partition auf, jede Zahl beschreibt die Anzahl Kästchen einer Zeile. Für (2,1) ist die Partition also:

oo
o

für (5,3,1) wäre sie

ooooo
ooo
o


Die duale Partition erhältst du, indem du das Diagramm spaltenweise statt zeilenweise liest. Für (2,1) ist die duale Partition (wie gesagt) auch (2,1), für (5,3,1) wäre sie (3,2,2,1,1).

Die Partition musst du für jeden mehrfachen Eigenwert bestimmen. Mit der Zeit kannst du das etwas beschleunigen, weil du in gewissen Situationen schon weisst, wie es "weiter gehen" muss, bevor du alles gerechnet hast.

Zitat:
Die 1 darf ich jetzt aber immernoch nicht zwischen die beiden Zweierblöcke schieben, oder?


Korrekt.
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ch habe das C.P. noch einmal nachgerechnet, es stimmt. Wahrscheinlich hast du dich verrechnet -- das passiert schnell mal. Bei uns war es üblich, die Unbestimmte in Polynomen mit T zu bezeichnen. Die Lambdas waren dann die Nullstellen (und Eigenwerte).

Dann habe ich meines auch nochmal falsch nachgerechnet Augenzwinkern
Ich habe mal die Rechnung angehängt. Es fallen alle Faktoren raus nur der allererste bleibt stehen. Wie hast du dein charakteristisches Polynom denn berechnet? Mit der Regel von Sarrus oder dem Laplaceschen Entwicklungssatz? Vielleicht kannst du mir ja sagen, was ich falsch gerechnet habe...
[attach]11475[/attach]

Zitat:
Eine Matrix hoch Null ist die Einheitsmatrix

Das funktionniert also gleich wie bei Zahlen 5^0 =1. So ist eben eine Matrix hoch 0 die Einheitsmatrix. Rang 4 ok.

Zitat:
Das Quadrieren gibt bei mir ein anderes Ergebnis (nämlich ). Rang ist also 1.

Ok, das habe ich nachgerechnet. Da habe ich mich vorher verrechnet.
Und Rang =1 da die erste und die letzte Zeile linear abhängig sind. Also bleibt eine lineare unabhängige Zeile

Zitat:
Nein. Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen.

Werd ich mir merken.

Zitat:
Zur dualen Partition und den Kästchen: Du zeichnest deine Partition auf, jede Zahl beschreibt die Anzahl Kästchen einer Zeile. Für (2,1) ist die Partition also:

oo
o

für (5,3,1) wäre sie

ooooo
ooo
o


Die duale Partition erhältst du, indem du das Diagramm spaltenweise statt zeilenweise liest. Für (2,1) ist die duale Partition (wie gesagt) auch (2,1), für (5,3,1) wäre sie (3,2,2,1,1).

Die Partition musst du für jeden mehrfachen Eigenwert bestimmen. Mit der Zeit kannst du das etwas beschleunigen, weil du in gewissen Situationen schon weisst, wie es "weiter gehen" muss, bevor du alles gerechnet hast.


Wenn ich also die Partition (5,3,1) zu dem Eigenwert 3 hätte (der dann mehrfach auftritt) habe ich also ein 3er Kästchen, zwei Zweierkästchen und zwei Einserkästchen mit dem Eigenwert 3 auf der Diagonale. (also mindestens eine 9x9 Matrix)

In unserem Beispiel haben wir den Eigenwert 2 der mehrfach auftritt. Und da wir die Partition 2,1 haben und das ganze auch umgedreht gelesen 2,1 ist. Haben wir ein Zweierkästchen und ein Einerkästchen jeweils mit der 2 auf der Diagonalen.

Übrigens eine coole Sache mit den Kästchen. Davon habe ich zwar noch nie etwas gehört, aber die gefallen mir smile
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe mal die Rechnung angehängt. Es fallen alle Faktoren raus nur der allererste bleibt stehen. Wie hast du dein charakteristisches Polynom denn berechnet? Mit der Regel von Sarrus oder dem Laplaceschen Entwicklungssatz? Vielleicht kannst du mir ja sagen, was ich falsch gerechnet habe...


Dein Fehler: Die Regel von Sarrus funktioniert nur bis zur 3x3-Matrix. Danach musst du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden. (Genau genommen könntest du die Determinante auch explizit über die Definition berechnen, das macht aber niemand...)

Der Rest ist richtig, insbesondere deine Interpretation der Partition, der Blockgrössen und der 9x9-Matrix.

Das mit den Kästchen ist übrigens auch dann praktisch, wenn du die Transformationsmatrix bestimmen musst (also diejenige Matrix S, sodass S^(-1)*A*S = J ist für eine Matrix A und ihre JNF J).
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