diagonalähnliche Matrizen

12.10.2009, 19:27

pimpl

diagonalähnliche Matrizen

Bei der Berechnung der Eigenvektoren zum Eigenwert Lambda=1 (siehe Musterlösung) gibt es bloß eine linear unabhängige Gleichung: 1 -1 1 : 0

Ich habe x2=a (reell), x3=b (reell) gesetzt.
Entsprechend der einen Gleichung gilt dann: X1 = a - b
=> somit erhält man die beiden Eigenvektoren (1,1,0) und (-1,0,1)

Ich verstehe nicht, wie in der Musterlösung neben (1,1,0) der Eigenvektor (0,1,1) berechnet wurde! Handelt es sich hierbei, um einen Fehler?? Oder ist meine Lösung falsch?

Darüber hinaus verstehe ich nicht, wie man die geforderte Matrix B berechnen kann, und wieso gerade die drei Eigenvektoren im 'Matrixverbund' der geforderten Matrix B entsprechen.

.. Gibt es vielleicht eine Rechenvorschrift wie man eine solche Matrix berechnen kann, oder muss man raten und ausprobieren?

Vielen Dank für eure Hilfe!

12.10.2009, 19:45

Mazze

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Zitat:

Ich verstehe nicht, wie in der Musterlösung neben (1,1,0) der Eigenvektor (0,1,1) berechnet wurde! Handelt es sich hierbei, um einen Fehler?? Oder ist meine Lösung falsch?

Sowohl Deine als auch die Musterlösungen sind richtig. Du solltest dich erinnern das die Eigenvektoren immer einen ganzen Vektorraum aufspannen. Das heisst es gibt sogar unendlich viele Eigenvektoren. Es heisst nicht umsonst in der Musterlösung "eine Lösung". Wenn ich allerdings das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} x = 0 \end{eqnarray*}$

habe , würde ich garnicht lange rumrechnen. Man sieht doch schon wie man die Vektoren x wählen muss damit das Gleichungssystem gelößt ist Augenzwinkern

Zitat:

Darüber hinaus verstehe ich nicht, wie man die geforderte Matrix B berechnen kann, und wieso gerade die drei Eigenvektoren im 'Matrixverbund' der geforderten Matrix B entsprechen.

Tja, das ist die Theorie die eigentlich in der Vorlesung (Script) durchgenommen werden müsste. Es sind sogar ausschließlich die Eigenvektoren die das gewünschte Leisten. Allerdings brauchst Du nur eine Basis aus Eigenvektoren, welche Du da speziell wählst ist unwichtig (im allgemeinen Fall).

Zitat:

Gibt es vielleicht eine Rechenvorschrift wie man eine solche Matrix berechnen kann, oder muss man raten und ausprobieren?

Die Vorschrift ist doch gegeben. Eine Basis aus Eigenvektoren bestimmen und diese dann für die Transformationsmatrix verwenden.

13.10.2009, 15:20

pimpl

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Und wieso steht das dann nicht einfach in meinem Skript???

.. Habe ich es nun richtig verstanden:

Hat eine n*n-Matrix (A) GENAU n Eigenvektoren, so ist sie diagonalähnlich. Das heißt, sie kann mithilfe einer diagonalisierungsmatrix B (auch n*n) in eine Diagonalmatrix D überführt werden mit der Vorschrift:
D = B^(-1) * A * B

Dabei setzt sich B aus beliebigen linear unabhängigen Eigenvektoren (von A) als Spalten von B zusammen.
Da es unendlich viele Eigenvektoren gibt, gibt es auch unendlich viele Matrizen B, bzw. Diagonalmatrizen D.

... Ist das alles richtig?? Wie werden die Matrixen B und D genau bezeichnet?

VIELEN DANK!

13.10.2009, 15:35

Mazze

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Zitat:

Und wieso steht das dann nicht einfach in meinem Skript???

Die Frage kann Dir nur der Autor des Skriptes beantworten.

Zitat:

Hat eine n*n-Matrix (A) GENAU n Eigenvektoren, so ist sie diagonalähnlich.

Nein so ist das falsch, richtig formuliert wäre es : Hat eine n*n Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren, so ist sie diagonalähnlich.

Zitat:

Da es unendlich viele Eigenvektoren gibt, gibt es auch unendlich viele Matrizen B, bzw. Diagonalmatrizen D.

Die Diagonalmatrizen sind eindeutig bis auf Umordnung der Diagonalelemente. Es gibt aber unendlich viele Transformationsmatrizen, dass stimmt.