RL - Zerlegung, und wofür bitte?

12.10.2009, 21:03	LyriaEL	Auf diesen Beitrag antworten »
RL - Zerlegung, und wofür bitte? Hallo! Es geht mit dem Stoff zur Zeit ziemlich rassig voran, deswegen bekomme ich nicht immer ganz mit, was jetzt wofür ist und wie man was macht. Da ich ganz harmlos ein Zahlenbeispiel lösen will, verwirrt mich mein Script mehr, als das es mir hilft. Deshalb bin ich hier um euch ganz lieb zu fragen: Wofür ist denn die RL-Zerlegung nun gut? Die Aktion mit der Gaussischen Verteilung habe ich (hoffe ich zumindest) verstanden. Ich finde das eine ziemlich praktische Sache um Gleichungen zu lösen und habe mich auch schon beinahe damit angefreundet. Nun habe ich aber eine Aufgabe, wo ich eine RL zerlegung machen soll. Das habe ich auch getan, aber was nun? wie löse ich nach einer RL Zerlegung die Gleichung auf? Und warum muss ich das so machen, wenn es doch mit der Gaussischen Verteilung getan wäre? Ich gebe hier als Zahlenbeispiel das aus unserem Script, da die Aufgabe, wo ich die RL zerlegung schon gemacht habe a) so gross und b) vielleicht auch falsch ist. $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -5 & 6 & -7 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b = \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Darauf folgt die RL-Zerlegung: $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eure lyriael
12.10.2009, 21:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: RL - Zerlegung, und wofür bitte? [WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - direkte Verfahren
12.10.2009, 21:09	LyriaEL	Auf diesen Beitrag antworten »
oh cool... danke, ich hab mal kurz mit der Suchfunktion geschaut, aber das ist natürlich super praktisch. Ich versuch mal schlau daraus zu werden Danke dir
12.10.2009, 21:18	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: RL - Zerlegung, und wofür bitte? Hallo! Die LR-Zerlegung einer Matrix bietet eine einache Lösung von Gleichungssystemen. Wenn du ein Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ hast und die LR-Zerlegung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ berechnet hast, d.h $\begin{eqnarray} A=LR \end{eqnarray}$ , so kannst du das Gleichungssystem folgendermaßen lösen: Du löst zunächst das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Ly=b \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf. Dies sollte nicht schwer fallen, da $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ eine Dreiecksmatrix ist. Danach löst du das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Rx=y \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , was ebenfalls wieder leicht ist, da $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ eine Dreiecksmatrix ist. Dieses $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist deine Lösung, denn wenn du in der oberen Gleichung $\begin{eqnarray} y=Rx \end{eqnarray}$ substituierst, erhältst du: $\begin{eqnarray} b=Ly=LRx=Ax \end{eqnarray}$ . Wenn du den Gauß-Algorithmus anwendest (ich nehme an, du meintest diesen und nicht die Gaußverteilung), tust du nichts anderes, als die LR-Zerlegung der Matrix ausrechnen. Der Vorteil der LR-Zerlegung ist: Wenn du in einem Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ unterschiedliche Ergebnisvektoren $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ hast (zum Beispiel verschiedene Messwerte in einem Experiment), musst du die LR-Zerlegung von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray*}$ nur einmal ausrechnen und kannst die Lösungen jedesmal sofort ablesen. EDIT: Mist, zu spät. Ich hab aber auch wirklich lange zum schreiben gebraucht.
12.10.2009, 21:25	LyriaEL	Auf diesen Beitrag antworten »
k, das schaut (fast) genau so aus wie bei mir im Script. Damit bin ich wo ich war. Ich hatte gehofft, dass es möglich wäre die Aufgabe zuerst praktisch zu Lösen und dann hinterher die Theorie zu verstehen versuchen. Edit: Haha, du warst zu spät und ich offenbar zu früh, ich versuchs mal so zu lösen, wie du es geschrieben hast. DAnke dir =))
12.10.2009, 21:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - Beispiele Die LR-Zerlegung bietet eben die Möglichkeit mit Vorwärts und Rückwärtssubstitution zu lösen und wenn man Gauß aufschlüsselt, kommt im Grunde sowas raus. Gitterost hat ja noch mehr geschrieben.
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