Matrix idempotent ?

12.10.2009, 21:37

slater

Matrix idempotent ?

Hallo ich hab als Bsp.:

Zeigen Sie, dass die Matrix P = X* (X' *X )^-1 *X' idempotent ist, mit X einer

Matrix mit T Zeilen und k Spalten. Bestimmen Sie den Rang dieser Matrix
indem Sie die Eigenschaften der Spur einer Matrix verwenden.

Ich versteh wie ich das praktisch anhand vom bsp zeigen kann (also ich kann beweisen das es stimmt, wenn ich für X die einheitsmatrix wähle, aber wie mach ich das theoretisch?

12.10.2009, 22:03

Philipp Imhof

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RE: Matrix idempotent ?
Wie lautet denn die Definition für "idempotent"?

Das ist meist schon der erste Schritt zur Lösung.

12.10.2009, 22:15

slater

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Eine Matrix heißt idempotent wenn A^2 = A*A = A

aber wie weit komm ich damit weiter?

12.10.2009, 22:43

Philipp Imhof

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Richtig. Und jetzt rechne mal $\begin{eqnarray*} P\cdot P \end{eqnarray*}$ aus -- fasse dabei möglichst praktisch zusammen. Was kommt dann heraus?

12.10.2009, 23:20

slater

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$\begin{eqnarray*} P \cdot P \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X \cdot (X' \cdot X)^{-1} \cdot X' \cdot X \cdot (X' \cdot X)^{-1} \cdot X' \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} X \cdot X \cdot X' \cdot X' \cdot (X')^{-1} \cdot (X')^{-1} \cdot (X)^{-1} \cdot (X)^{-1} \end{eqnarray*}$

und das wird dann die Einheitsmatrix, wenn ich das richtig verstehe. Hey cool ich glaub ich versteh's.

Aber was hat das mit da Spur und Rang zu tun?

12.10.2009, 23:42

slater

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ah ich glaub ich checks schon: da ne einheitsmatrix rauskommt, ist der rang gleich der anzahl der zeilen;
und die spur ist ja die summe von der hauptdiagonale also immer 1+1+1--> auch anzahl der zeilen

13.10.2009, 09:36

Philipp Imhof

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Zitat:

Original von slater
$\begin{eqnarray*} P \cdot P \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X \cdot (X' \cdot X)^{-1} \cdot X' \cdot X \cdot (X' \cdot X)^{-1} \cdot X' \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} X \cdot X \cdot X' \cdot X' \cdot (X')^{-1} \cdot (X')^{-1} \cdot (X)^{-1} \cdot (X)^{-1} \end{eqnarray*}$

Ist denn die Multiplikation von Matrizen kommutativ?

13.10.2009, 09:54

slater

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mhh nein ist sie nicht, mhh aber wie komm ich dann auf was sinnvolles

13.10.2009, 10:05

Philipp Imhof

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Du willst zeigen, dass die gegebene Matrix P idempotent ist.

Du weisst: P idempotent bedeutet P^2 = P*P = P

Nun nimmst beginnst du so:

$\begin{eqnarray*} P^2 = P\cdot P = X \cdot \underbrace{(X' \cdot X)^{-1} \cdot X' \cdot X} \cdot (X' \cdot X)^{-1} \cdot X' \end{eqnarray*}$

was fällt dir beim unterklammerten Term auf?

13.10.2009, 10:27

slater

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ja das wird zur einheitsmatrix.
--> damit bleibt die angabe also P übrig.
aber wie kom ich zur Spur und Rang?

13.10.2009, 10:38

Philipp Imhof

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Der Tipp in der Aufgabe ist, das über die Eigenschaften der Spur zu machen. Welche Eigenschaften der Spur kennst du? Ich fange mal an (habe das Privileg, die einfachsten Dinge zu schreiben...)

- Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge.
- Die Spur ist aber auch die Summe ........
- Die Spur einer Matrix und ihrer Transponierten sind .....
- Die Spur einer idempotenten Matrix ist auch gleich ......

Damit hast du es dann schon fast.

13.10.2009, 11:35

slater

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Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge.
- Die Spur ist aber auch die Summe der Eigenwerte
- Die Spur einer Matrix und ihrer Transponierten sind gleich
- Die Spur einer idempotenten Matrix ist auch gleich ihren Rang

ja aber ich steh da an ich soll ja beweisen das die Spur gleich dem Rang ist? vl steh ich grad voll an

13.10.2009, 11:39

Philipp Imhof

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Richtig!

$\begin{eqnarray*} \text{Spur}(P) = \text{Spur}(X\cdot(X'X)^{-1}\cdot X') = \text{Spur}(X'X\cdot(X'X)^{-1}) \end{eqnarray*}$

letzteres kommt daher, dass unter der Spur zyklische Vertauschungen (also den letzten Faktor an den Anfang setzen) erlaubt sind.

Und wenn du jetzt den Ausdruck in der Klammer vereinfachst, kommt eine Matrix heraus, deren Spur du sofort bestimmen kannst, und damit hast du auch den Rang von P.

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