Matrix idempotent ? |
12.10.2009, 21:37 | slater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Matrix idempotent ? Zeigen Sie, dass die Matrix P = X* (X' *X )^-1 *X' idempotent ist, mit X einer Matrix mit T Zeilen und k Spalten. Bestimmen Sie den Rang dieser Matrix indem Sie die Eigenschaften der Spur einer Matrix verwenden. Ich versteh wie ich das praktisch anhand vom bsp zeigen kann (also ich kann beweisen das es stimmt, wenn ich für X die einheitsmatrix wähle, aber wie mach ich das theoretisch? |
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12.10.2009, 22:03 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Matrix idempotent ? Wie lautet denn die Definition für "idempotent"? Das ist meist schon der erste Schritt zur Lösung. |
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12.10.2009, 22:15 | slater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Matrix heißt idempotent wenn A^2 = A*A = A aber wie weit komm ich damit weiter? |
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12.10.2009, 22:43 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Und jetzt rechne mal aus -- fasse dabei möglichst praktisch zusammen. Was kommt dann heraus? |
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12.10.2009, 23:20 | slater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ergibt: und das wird dann die Einheitsmatrix, wenn ich das richtig verstehe. Hey cool ich glaub ich versteh's. Aber was hat das mit da Spur und Rang zu tun? |
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12.10.2009, 23:42 | slater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ich glaub ich checks schon: da ne einheitsmatrix rauskommt, ist der rang gleich der anzahl der zeilen; und die spur ist ja die summe von der hauptdiagonale also immer 1+1+1--> auch anzahl der zeilen |
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13.10.2009, 09:36 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist denn die Multiplikation von Matrizen kommutativ? |
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13.10.2009, 09:54 | slater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mhh nein ist sie nicht, mhh aber wie komm ich dann auf was sinnvolles |
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13.10.2009, 10:05 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du willst zeigen, dass die gegebene Matrix P idempotent ist. Du weisst: P idempotent bedeutet P^2 = P*P = P Nun nimmst beginnst du so: was fällt dir beim unterklammerten Term auf? |
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13.10.2009, 10:27 | slater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das wird zur einheitsmatrix. --> damit bleibt die angabe also P übrig. aber wie kom ich zur Spur und Rang? |
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13.10.2009, 10:38 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Tipp in der Aufgabe ist, das über die Eigenschaften der Spur zu machen. Welche Eigenschaften der Spur kennst du? Ich fange mal an (habe das Privileg, die einfachsten Dinge zu schreiben...) - Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge. - Die Spur ist aber auch die Summe ........ - Die Spur einer Matrix und ihrer Transponierten sind ..... - Die Spur einer idempotenten Matrix ist auch gleich ...... Damit hast du es dann schon fast. |
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13.10.2009, 11:35 | slater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge. - Die Spur ist aber auch die Summe der Eigenwerte - Die Spur einer Matrix und ihrer Transponierten sind gleich - Die Spur einer idempotenten Matrix ist auch gleich ihren Rang ja aber ich steh da an ich soll ja beweisen das die Spur gleich dem Rang ist? vl steh ich grad voll an |
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13.10.2009, 11:39 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig! letzteres kommt daher, dass unter der Spur zyklische Vertauschungen (also den letzten Faktor an den Anfang setzen) erlaubt sind. Und wenn du jetzt den Ausdruck in der Klammer vereinfachst, kommt eine Matrix heraus, deren Spur du sofort bestimmen kannst, und damit hast du auch den Rang von P. |
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