DGL mit Potenzreihenansatz lösen. |
13.10.2009, 11:44 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
DGL mit Potenzreihenansatz lösen. folgendes Problem die Gleichung: soll mit Potenzreihenansatz gelöst werden.Die Anfangsbedingung ist Ich habe das vorher noch nie gemacht. Mit Hilfe der Suchfunktion habe ich schon Ansätze gefunden, nur sind die DGL dort immer gleich Null. In meinem Beispiel ist die Funktion ja gleich . Außerdem hab ich gefunden für unter dem Begriff Potenzreihe. Ist dies schon meine Lösung? |
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13.10.2009, 12:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist der Potenzreihenansatz. Zu bestimmen sind die . Jetzt berechne und . Bringe diese Summe auf die Form In der Klammer steht ein Ausdruck aus Gliedern der Folge . Ein Koeffizientenvergleich mit den Gliedern der Reihe für liefert dir Beziehungen für die , die du rekursiv auflösen kannst. Warnung! Achte auf Besonderheiten bei den Startbedingungen, die durch Indexverschiebung entstehen. |
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13.10.2009, 14:15 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich habe mal so gerechnet, wie ich es in der Antwort verstanden habe. Dann wäre und somit ist Ist das jetzt so richtig? Und wie weiter? EDIT: Habe ich so gefunden. |
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13.10.2009, 14:48 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie Leopold meinte: Du sollst jetzt nach den Potenzen ordnen. Dazu musst du natürlich zunächst die einzelnen Klammern ausmultiplizieren. Außerdem darfst du natürlich nicht bei der dritten Potenz aufhören zu summieren, sondern musst eigentlich die Reihe hinschreiben. |
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13.10.2009, 15:01 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Muss ich das so schreiben? Das kommt bei mir raus wenn ich nach Potenzen ordne, denk ich mal so. |
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13.10.2009, 15:19 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Im Prinzip richtig, nur hast du oben falsch abgeleitet. Außerdem hast du vergessen. Die richtige Formel ist . |
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13.10.2009, 15:50 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß nun garnichts mehr. Muss ich nun die Glieder der Reihe aufschreiben oder die ganze Summe. Könnte man ma bitte Schritt für Schritt. |
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13.10.2009, 18:58 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
. Diese beiden Reihen sollst du addieren und als Reihe der Form darstellen. |
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13.10.2009, 19:07 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hab nochmal überlegt und bin zu folgendem gekommen: Stimmt das nun? Was muss mich nun mit dem noch machen? |
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13.10.2009, 19:13 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist zwar nicht falsch, aber nicht das, was ich wollte. Vorne soll kein mehr vorkommen, dafür musst du bei der zweiten Summe zuerst eine Indexverschiebung durchführen. |
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13.10.2009, 19:21 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann muss das komplette Ding bei 2 losgehen. Aber so bekommt man das x doch nicht raus oder?. Habe folgendes gerechnet dann zusammen fassen bzw wie funktioniert eine Indexverschiebung. Die Suche brachte mich nicht wirklich weiter. |
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13.10.2009, 19:36 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
da fehlt noch ein k |
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13.10.2009, 23:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie gesagt: ohne ! Du sollst in einfach und usw. der Reihe nach ausklammern. |
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13.10.2009, 23:53 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, wenn ich beide Reihen summiere und x ausklammere komme ich auf Ich hoffe das ist so richtig ausgeklammert. |
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14.10.2009, 12:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vergleich mit liefert Mit (warum?) können die aus dieser Gleichung rekursiv berechnet werden. Führt man das für die ersten Glieder durch, wird man bald bemerken, worauf das hinausläuft. |
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14.10.2009, 13:51 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke Leopold für den Tipp. Also ist wahrscheinlich die Startbedingung das Nun habe ich folgende Glieder errechnet Ich hoffe das stimmt erstmal soweit. Also für die gerade Zahlen ist die Reihe immer |
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14.10.2009, 15:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei stimmt etwas nicht. Der Fehler wirkt sich allerdings nicht aus. Und wie wäre es mit einem Beweis deiner Vermutung? Du solltest die Vermutung zunächst sauber formulieren. Und da die Folge rekursiv definiert ist, liegt natürlich ein Induktionsbeweis nahe. |
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14.10.2009, 16:55 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Behauptung: Die Gleichung liefert beim lösen mit dem Potenzreihenansatz eine Summe, in der der Quotienten aufsummiert wird. Das hab ich mir mal so gedacht als Formel für den Induktionsbeweiß. Das steht für die geraden Zahlen. Es wäre nett wenn wir heute noch auf eine Lösung kommen könnten. |
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14.10.2009, 19:42 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du musst es etwas genauer sagen: Wie sieht jetzt die Funktion aus? Du darfst natürlich nicht die -Potenzen auf einmal weglassen. Beachte, dass du für " Fakultät" Klammern setzen musst! |
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14.10.2009, 19:49 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kannst du mir bitte sagen, was du unter" wie sieht die funktion jetzt aus?" meinst? Meinst du das die summe mit dem nicht reicht? |
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14.10.2009, 20:13 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. Du hast am Anfang den Ansatz gemacht und jetzt deine Koeffizienten ausgerechnet. Also sieht die Funktion jetzt wie aus? |
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14.10.2009, 20:21 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denk mir in etwa so weil der Koeffizient a_k ist ja immer. Oder ist das flasch gedacht? |
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14.10.2009, 20:22 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denk mir in etwa so weil der Koeffizient a_k ist ja immer. Oder ist das flasch gedacht? |
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14.10.2009, 20:25 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
das ist quatsch was ich oben geschrieben habe |
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14.10.2009, 20:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst deine Beiträge auch editieren! Ja, das stimmt noch nicht. Der Koeffiziente vor ist ja z.B. und du hast ausgerechnet, dass das Null ist und nicht . |
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14.10.2009, 20:31 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denke mal das ist die richtige Lösung |
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14.10.2009, 20:46 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das ist leider falsch (das vorher war schon besser). Überprüfe das doch einfach durch Ausrechnen der Koeffizienten und Vergleichen mit den bereits berechneten Werten! Richtig ist , denn alle Koeffizienten vor ungeraden Potenzen von verschwinden ja nach deiner Rechnung (zumindest anscheinend). |
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14.10.2009, 20:52 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich hatte festgestellt, das es quatsch war und noch editiert, wahrscheinlich hast du das nicht mehr gelesen. es sieht aber identisch aus . Ist das die endgültige Lösung? |
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14.10.2009, 20:54 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. Man sollte natürlich noch nachrechnen, dass es wirklich eine Lösung ist. |
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14.10.2009, 21:01 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
wenn ich die Reihe so aufstelle kommt man ja auf Wie sollte ich die Lösung nun auf dem Papier präsentieren. Erst den Ansatz hinschreiben. Dann die zusammengefasste Reihe, danach den Vergleich mit der Potenzreihe , die ausgerechneten Koeffizienten und darauß die Schlussfolgerung das das Ganze gleich ist. |
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14.10.2009, 21:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, und unbedingt am Ende noch überprüfen, dass dies wirklich eine Lösung ist. |
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14.10.2009, 21:38 | narunaru | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann danke ich allen für ihre Geduld und Mühe. Ich weiß ich habe es euch sicher net einfach gemacht, muss aber betonen das ich das zum ersten Mal gemacht habe. Vielen herzlichen Dank |
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14.10.2009, 21:40 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bitteschön. |
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