Beweis der A-Symmetrie der Kleiner-Gleich Relation

13.10.2009, 12:17

Bladecatcher

Beweis der A-Symmetrie der Kleiner-Gleich Relation

Hallo,

es geht um diese Relation:

R = {(x,y) € lR x lR / x <=y}

Wir sollen diese auf Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, A-Symmetrie und Transitivität untersuchen.

Da es eine Ordnungsrelation ist (keine strenge), hat sie die Eigenschaften Reflexiv, A-Symmetrisch und Transitiv.

Habe die Relation anders charakterisiert. Nämlich (x=y v x < y). Dabei habe ich überlegt, dass die Definition von x < y ist: x + a = y, a € lR. Damit habe ich dann auch die Transitivität beweisen können.

Allerdings hängt es bei der A-Symmetrie. Da bin ich so vorgegangen:

Es soll ja gelten:

(x,y) € R ^ (y,x) € R ==> x = y

Also: (x=y v x < y) ^ (y = x v y <x) => mit Distributivgesetz:

1. Fall (x=y ^ y =x) ==> x=y
2. Fall (x<y) ^ (y = x) => (x + a = y) ^ (y = x) => a = 0 => x + 0 = y => x = y
3. Fall (x=y) ^ (y<x) => (x=y) ^ (y + b = x) => b = 0 => y + 0 = x => x = y
4. Fall (x<y) ^ (y < x) => (x + a = y) ^ (y + b = x) => ........

Ich bin mir unsicher beim 2. und 3. Fall ob das so geht. Und im 4. Fall komme ich garnicht weiter. Da komme ich immer auf x = x oder y = y. Aber nicht auf x = y.

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus

13.10.2009, 13:00

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von Bladecatcher
Habe die Relation anders charakterisiert. Nämlich (x=y v x < y). Dabei habe ich überlegt, dass die Definition von x < y ist: x + a = y, a € lR.

Hier sollte $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ stehen, sonst ergibt das irgendwie keinen Sinn. Außerdem sollte man vielleicht ein paar Quantoren einbauen:

$\begin{eqnarray*} x<y\Leftrightarrow \exists a\in\mathbb R,a>0\ :\ y=x+a \end{eqnarray*}$ .

Im Übrigen kenne ich es eher so, dass man $\begin{eqnarray*} x<y :\Leftrightarrow x\leq y\text{ und }x\neq y \end{eqnarray*}$ definiert. Es scheint so, als hättest du dir jetzt eine Beschreibung ausgedacht. Du solltest natürlich mit den Definition aus der Vorlesung arbeiten (falls es das gibt) oder erstmal zeigen, dass deine Beschreibung dazu äquivalent ist (auch wenn das nicht schwierig ist).

Zitat:

Original von Bladecatcher
2. Fall (x<y) ^ (y = x) => (x + a = y) ^ (y = x) => a = 0 => x + 0 = y => x = y

Der zweite Fall kann nicht auftreten, da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht kleiner als $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig aber gleich $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sein kann. Analog kann der dritte Fall nicht existieren.

Zitat:

Original von Bladecatcher
4. Fall (x<y) ^ (y < x) => (x + a = y) ^ (y + b = x) => ........

Wie gesagt, es ist natürlich wichtig, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ größer Null sind. Auch hier solltest du dann einen Widerspruch erhalten und zeigen, dass dieser Fall nicht auftreten kann.

13.10.2009, 13:21

Bladecatcher

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Die Definition habe ich mir nicht ausgedacht. In der Vorlesung hat er x < y als x + a = y, a € lR definiert. Im Buch des Dozenten habe ich auch die Schreibweise mit den Quantoren gesehen, die ich auch besser finde.

Ja, ich sehe das natürlich sofort ein x < y und x = y ist nicht möglich. Aber wie kann ich sonst x = y folgern? Denn das gilt ja auf jeden Fall.

13.10.2009, 15:25

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Bladecatcher
In der Vorlesung hat er x < y als x + a = y, a € lR definiert.

Wenn das so an der Tafel stand, dann hat er hier einen Fehler gemacht. Wie gesagt: Es muss $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ sein, sonst wäre eine reelle Zahl immer kleiner als eine beliebige andere.

13.10.2009, 19:37

Bladecatcher

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es war in lN. habe nachgeschaut. anders ergäbe es auch keinen sinn.

13.10.2009, 22:30

kiste

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in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ macht aber auch keinen Sinn. Nach deiner Definition ist dann $\begin{eqnarray*} 1 \not < 1.5 \end{eqnarray*}$

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