Roulette-Aufgabe

26.09.2006, 10:42

Lagrange

Roulette-Aufgabe

Hallo liebe Matheboardgemeinde,

ich bräuchte bitte mal eure Hilfe bei einer Aufgabe. Diese lautet:

Die möglichen Ergebnisse beim Roulette sind die Zahlen 0; 1; 2; ... ; 36 (alle gleichwahrscheinlich). Setzt ein Spieler auf eine einzelne Zahl, so erhält er das 35fache seines Einsatzes, falls diese Zahl gewinnt. Ansonsten verliert er seinen Einsatz.
Ein Spieler setzt stets auf die '7'. Pro Spiel beträgt sein Einsatz 10 euro.

(a) Wie oft muss der Spieler gewinnen, damit er nach insgesamt 100 Spielen mindestens 500 euro gewonnen hat?

(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für diesen Spieler, in 100 Spielen mindestens 500 euro zu gewinnen.

Teilaufgabe (a) hab ich. das ergebnis lautet: er müsste 4,167mal (1500/360) von 100 versuchen(drehungen) die "7" treffen, um mindestens 500 euro zu gewinnen.

Nun hab ich Probleme mit der Aufgabe (b), welche umformuliert aufgrund von aufgabe (a) wohl heißen würde:"Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 100 Versuchen mindestens 4,167mal die "7" zu treffen?"
meine idee war nun diese aufgabe durch das gegenereignis "er trifft bei 100 drehungen 0-mal die "7" " zu lösen, was dann dies hier wäre:
P(mind. 1-mal die "7" getroffen)=1-P(0-mal die "7" getroffen)
=1-(36/37)^100=0,935 .
An dieser Stelle scheine ich nun in Brett vorm Kopf zu haben.^^ Ich weiß nicht, wie ich aus "mindestens 1-mal die "7" treffen" nun "mind. 4,167mal die "7" treffen" mache. Meine einzige momentane, aber wohl auch falsche Idee wäre es, die 0,935 einfach durch 4,167 zu teilen.

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.

Gruß

Lagrange

26.09.2006, 10:48

kurellajunior

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Also erstens zu a)
Man kann nicht 4,1... mal gewinnen, man kann nur 4- oder 5mal gewinnen!

und hier liegt das Problem für b) Denn Du kannst das auf einfachem Wege nur mit ganzen Gewinnzahlen machen. Sonst wird es unübersichtlicher.

Beispiel:
Er muss in 10 Spielen 6mal gewinnen. Die korrekte Frage lautet: Wieviele Möglichkeiten an Kombinationen Gewinnen/Verlieren gibt es überhaupt? Wie wahrscheinlich ist jede davon? wieviele davon haben mindestens 6Gewinne?

Summasummarum ergibt das...

Wie lauten die Fragen für Dich?

Hilft Dir das als Ansatz?

26.09.2006, 10:57

klarsoweit

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RE: Roulette-Aufgabe

Zitat:

Original von Lagrange
Teilaufgabe (a) hab ich. das ergebnis lautet: er müsste 4,167mal (1500/360) von 100 versuchen(drehungen) die "7" treffen, um mindestens 500 euro zu gewinnen.

Müßte das nicht heißen: er muß mindestens 1500/350 mal gewinnen? Das ändert am Ergebnis nicht so viel, wäre aber exakter.

Der Spieler muß also mindestens 5-mal gewinnen. Anders gesagt: die Möglichkeiten kein Gewinn, genau einen Gewinn, genau 2 Gewinne, genau 3 Gewinne und genau 4 Gewinne dürfen nicht eintreten.

27.09.2006, 08:57

Lagrange

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Hallo ihr beiden,

danke für eure tipps. damit habt ihr mir auf die sprünge geholfen, so dass ich nun in der lage sein werde diese aufgabe zu lösen.

zu (a) nochmal kurz: es ist nicht 1500/350, denn:

e=10euro einsatz;
v=100 versuche;
g=500 euro;
z= anzahl gewinne;

-> 35*e*z >= e*(v-z)+500;

-> 350*z >= 10*100 + 500 - 10z;
-> 360*z >= 1500
...

also, danke nochmal euch beiden! Freude

ciao

Lagrange

27.09.2006, 09:04

kurellajunior

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Zitat:

Original von Lagrange
-> 35*e*z >= e*(v-z)+500;

Das ist falsch unglücklich

er verliert den Einsatz in jedem Fall! Also:

Zitat:

Alt:
$\begin{eqnarray*} 35ez \ge 500-e\cdot v \end{eqnarray*}$
Sonst wäre es
$\begin{eqnarray*} 34ez \ge 500-e\cdot (v-z) \end{eqnarray*}$

Korrektur:
$\begin{eqnarray*} 35ez \ge 500+e\cdot v \end{eqnarray*}$
Sonst wäre es
$\begin{eqnarray*} 34ez \ge 500+e\cdot (v-z) \end{eqnarray*}$

Wenn das 36-fache Ausgezahlt werden sollte, dann natürlich so:
$\begin{eqnarray*} 36ez \ge 500+e\cdot v \end{eqnarray*}$

27.09.2006, 09:44

klarsoweit

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RE: Roulette-Aufgabe

Zitat:

Original von Lagrange
Setzt ein Spieler auf eine einzelne Zahl, so erhält er das 35fache seines Einsatzes, falls diese Zahl gewinnt. Ansonsten verliert er seinen Einsatz.

Das ist halt etwas mißverständlich. Genauer wäre:

1. Im Gewinnfall erhält er den Einsatz zurück und zusätzlich das 35-fache.
oder
2. Der Einsatz wird in jedem Fall einbehalten. Im Gewinnfall erhält er das 36-fache des Einsatzes.

Zitat:

Original von kurellajunior
er verliert den Einsatz in jedem Fall! Also:
$\begin{eqnarray*} 35ez \ge 500-e\cdot v \end{eqnarray*}$
Sonst wäre es
$\begin{eqnarray*} 34ez \ge 500-e\cdot (v-z) \end{eqnarray*}$

Wie das auch ist mit dem Einsatz. Die Ungleichungen lauteten dann:
$\begin{eqnarray*} 35ez -e\cdot v \ge 500 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} 34ez - e\cdot (v-z) \ge 500 \end{eqnarray*}$
Denn der Einsatz wird vom tatsächlichen Gewinn abgezogen, nicht vom Gewinnziel. Dabei ist in deiner Schreibweise die letzte Ungleichung äquivalent zur ersten.

27.09.2006, 11:00

kurellajunior

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:ditsch: Links und rechts verwechselt

Bekommt man denn beim Roulette tatsächlich das 36-fache seines Einsatzes ausgezahlt?

27.09.2006, 11:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von kurellajunior
Bekommt man denn beim Roulette tatsächlich das 36-fache seines Einsatzes ausgezahlt?

Meines Wissens ja. Genau genommen werden das 35-fache des Einsatzes zum Einsatz, der im Gewinnfall nicht kassiert wird, hinzugelegt.

kurze Rechnung aus Sicht des Casinos:
Auf jedes der 37 Zahlen wird 1 € gesetzt. 36 € werden einkassiert, 35 € erhält der Gewinner, bleibt 1 € fürs Casino. Augenzwinkern

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