Problem bei Beweis: min(x,y) = 1/2(x+y-|x-y|)

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13.10.2009, 12:56	Thomas~	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Beweis: min(x,y) = 1/2(x+y-\|x-y\|) Halllo zusammen Ich bin was Mathematik angeht (noch) nicht sehr bewandert, muss ich dazu leider sagen, und gerade in der Analysis ist es bei mir immer die Frage: "Wie genau gehe ich Probleme/Beweise an" Hier nochmal meine zu Beweisende Funktion: $\begin{eqnarray} min : ~\mathbb R^{2} -> ~\mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} min(x,y) = \frac{1}{2} \cdot (x + y - \|x - y\|) \end{eqnarray}$ Für x,y $\begin{eqnarray} \in ~\mathbb R \end{eqnarray}$ Diese Funktion ordnet jedem paar von Rellen Zahlen, die kleinere dieser beiden zu. (Das hab ich auch schon überprüft ) Könnte mir da jemand einen Denk-Ansatz geben? =/
13.10.2009, 13:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Eine Funktion kann man nicht beweisen, diese Sprechweise ist also in diesem Fall unangebracht. Du musst einfach nur eine Fallunterscheidung machen, ob $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x\geq y \end{eqnarray}$ gilt.
13.10.2009, 13:18	Thomas~	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe Ich muss also zeigen, dass 1. min(x,y)=x für x<y 2. min(x,y)=(x+y)/2 für x=y 3. min(x,y)=y für x>y gilt? (oder auch nur wie du sagtest mit 2 Fällen) Der 2. Fall (bei 3 Fällen) ist für mich klar zu lösen, aber bei den beiden anderen Fällen weiß ich nicht wie ich mit dem Betrag umgehen soll. Sorry für solch simple Probleme, vielleicht hab ich grad auch nur ein Brett vorm Kopf lg, Thomas
13.10.2009, 14:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Im zweiten Fall ist eh $\begin{eqnarray} x=y=\frac{x+y}{2} \end{eqnarray}$ , den kannst du also wirklich zum ersten oder dritten Fall einfach dazu packen. Beim ersten Fall z.B. ist doch $\begin{eqnarray} x-y<0 \end{eqnarray}$ . Wie kannst du denn dann $\begin{eqnarray} \|x-y\| \end{eqnarray}$ schreiben (d.h. wie ist der Betrag definiert)? Analog für den dritten Fall.
13.10.2009, 15:06	Thomas~	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja der Betrag ist ja der Abstand bei einer Zahl, zur Null, bei 2 Zahlen, der Abstand der beiden Zahlen... Du sorry werde heute nicht mehr antworten können weil ich jetzt leider weg muss, werde morgen sofort wieder rein schauen und weiter dran rum grübeln.. vielleicht kommt die "Erleuchtung" ja auch über Nacht Erstmal danke für deine Hilfe, bis morgen =)
13.10.2009, 15:20	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt zwar, aber wie ist der Betrag durch Formeln definiert? In der Mathematik braucht man Formeln und nicht nur anschauliche Darstellungen von Begriffen, um damit arbeiten zu können.
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14.10.2009, 12:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschaulich ist das ja vollkommen klar: $\begin{eqnarray} \min(x,y) = \left( \text{Mittelwert von} \ x,y \right) \ - \left( \text{halber Abstand von} \ x,y \right) = \frac{1}{2} (x+y) - \frac{1}{2} \|x-y\| \end{eqnarray}$ Da die Formel symmetrisch in $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ ist (d.h. daß sie sich bei Vertauschung der Variablen nicht ändert), genügt es, ohne Beschränkung der Allgemeinheit den Fall $\begin{eqnarray} x \geq y \end{eqnarray}$ zu betrachten. Dann lautet die rechte Seite der Formel $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} (x+y) - \frac{1}{2} (x-y) \end{eqnarray}$ (warum?) Und das ist dann gleich der linken Seite. Warum?
14.10.2009, 13:11	Thomas~	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hinweise , hab mal nachgeschaut und gefunden, dass sie Betragsfunktion definiert ist als \| x - y \| = x - y für x > y (da dann x - y >0 ) und \| x - y \| = -1(x-y) für x < y (da dann x - y < 0) Somit ist die aufgabe so gut wie gelöst, danke euch für die vielen Hinweise, war einfach nur ein wenig zu "blöd" das mit dem Betrag zu raffen... Noch eine kurze Anmerkung zu einer neuen Aufgabe, bei der ich mir bei 2 Dingen unsicher bin (kA ob dies erlaubt ist in einem thread der eine andere Überschrift hat, und ich evtl dafür einen neuen aufmachen müsste, aber ich machs jetz einfach mal...) Aufgabe: $\begin{eqnarray} Sei f : ~\mathbb R^{3} -> ~\mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x, y, z) -> (x - y, y - z, z - x) \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ ({0, -1, 1}) und $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ({1,1,2}) Ist f injektiv, surjektiv, oder bijektiv? die Aufgabe ist 1:1 so gestellt, und ich bin mir unschlüssig, ob die agrumente die mit f^(-1) zu berechnen sind einfache "tripel" sind oder ob es sich um eine Mengenklammer handelt und ich dadurch mehrere Fälle durchgehen muss. ob f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist bin ich mir auch noch unschlüssig. Da allerdings f niemals den Wert (1,1,1) (als beispiel..) annehmen kann, dachte ich mir erst, f sei nicht injektiv, andererseits hat Injektivität doch etwas mit Umkehrbarkeit zu tun oder? Könnte mir da bitte einer n kleines Statement zu geben? Wäre sehr toll ! Liebe Grüße... Thomas.
14.10.2009, 15:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat solltest du besser einen neuen Strang aufmachen. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Tripel erzeugt, kann $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ auch nur auf Tripel oder Mengen von Tripeln angewandt werden. Ich vermute daher auch, daß du das nicht ganz richtig abgeschrieben hast. Da fehlt nämlich noch die Tripel-Klammer (vielleicht ist sie auch aus ästhetischen Gründen entfallen), also z.B. $\begin{eqnarray} f^{-1} \left( \left\{ (0,-1,1) \right\} \right) \end{eqnarray}$ Und hier ist mit $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ (noch) nicht die Umkehrabbildung gemeint, sondern das sogenannte Urbild. Beim obigen Beispiel sind also alle Tripel gesucht, die durch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0,-1,1) \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Und diese Tripel bilden eine Menge, eventuell die leere Menge (siehe hier). Und wenn du einmal bemerkt hast, daß es hier nur um lineare Gleichungssysteme geht, hast du schon halb gewonnen ...

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