Komplexe Folge konstruieren

13.10.2009, 14:30

stereo

Komplexe Folge konstruieren

Hallo, ich löse gerade folgende Aufgabe und komme nicht weiter. Erstmal die Aufgabe:

Konstruieren Sie eine Punktefolge $\begin{eqnarray*} (z_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_n \in D := \{ z \in \mathbb C: |z| < 1 \} \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, dass genau jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} \partial D \end{eqnarray*}$ Häufungspunkt ist.

Das wars schon ansich.

Der Rand von D ist folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \partial D := \{ z \in \mathbb C: |z| = 1 \} \end{eqnarray*}$

Mich stört jetzt der Teil dass die Folgenglieder in D liegen müssen.
Für ein Häufungspunkt gilt: Es müssen unendlich viele Glieder der Folge in der Umgebung des Häufungspunktes liegen.

Mir würde die Folge $\begin{eqnarray*} (z_n) = e^{in} \end{eqnarray*}$ einfallen, jedoch liegt diese Folge nicht in D.

Jetzt stell ich mir die Frage: Exisitert eine Folge die in D liegt oder ist das ein Schreibfehler oder hab ich die Aufgabenstellung missverstanden.

Danke für die Antworten smile

13.10.2009, 14:51

Mathespezialschüler

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Die Aufgabenstellung ist schon korrekt.

Mache den Ansatz $\begin{eqnarray*} z_n=r^{a_n}\cdot \operatorname e^{\operatorname ib_n} \end{eqnarray*}$ und wähle einfach deine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ so, dass der Betrag $\begin{eqnarray*} |z_n|=r^{a_n} \end{eqnarray*}$ gegen Eins geht. Die Exponentenfolge könnte bereits eine gute Wahl sein. Am Ende musst du natürlich noch zeigen, dass deine Folge wirklich diese Eigenschaft hat.

edit: Ich meinte eigentlich eher $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} r^{a_n} \end{eqnarray*}$ , siehe unten.

13.10.2009, 14:59

stereo

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Ok, danke für den Tip.

Aber müsste die Folge nicht in der abgeschlossenen Menge von D liegen, also in D und den Einheitskreis ?

13.10.2009, 15:07

Mathespezialschüler

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Was meinst du?

13.10.2009, 15:17

stereo

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RE: Komplexe Folge konstruieren

Zitat:

Original von stereo
... mit $\begin{eqnarray*} z_n \in D := \{ z \in \mathbb C: |z| < 1 \} \end{eqnarray*}$ ...

$\begin{eqnarray*} z_n = e^{in} \notin D \end{eqnarray*}$

Und dann gilt ja noch $\begin{eqnarray*} \partial D \cap D = \emptyset \end{eqnarray*}$

Wie soll ich nun eine Folge aus D finden, wo !fast alle! Glieder in dem Rand von D sind.

13.10.2009, 15:22

Mathespezialschüler

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Sollst du doch gar nicht. Du sollst nur eine Folge finden, sodass für jedes Element auf dem Rand und jede beliebige Umgebung darum fast alle Glieder in dieser Umgebung liegen! Mal dir ein Bild mit einem Punkt auf dem Rand und siehe ein, dass jede Umgebung um einen solchen Punkt stets in das Innere $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ hineinragt.

13.10.2009, 15:26

stereo

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RE: Komplexe Folge konstruieren

Zitat:

Original von stereo
... mit $\begin{eqnarray*} z_n \in D := \{ z \in \mathbb C: |z| < 1 \} \end{eqnarray*}$ ...

Aber hier steht doch ganz eindeutig dass die Glieder in der Menge B(0,1) liegen sollen, sprich in D.

Oder was verstehe ich hier falsch?

13.10.2009, 18:56

Mathespezialschüler

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Dem habe ich doch gar nicht widersprochen. verwirrt

13.10.2009, 18:58

stereo

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Sorry, aber ich verstehs nicht smile

Die Exponentenfolge liegt doch nur auf dem Rand von D. Aber ich soll doch eine Folge finden die in D ist. Ich glaub du verstehst mein Anliegen nicht, oder doch?!

13.10.2009, 19:04

Mathespezialschüler

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Eben, deswegen sollst du ja auch den Ansatz $\begin{eqnarray*} z_n=r_n\cdot\operatorname e^{\operatorname ib_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r_n<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} r_n\to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ machen.

(Das $\begin{eqnarray*} r^{a_n} \end{eqnarray*}$ oben war unbeabsichtigt zu kompliziert, vielleicht hat dich das ja verwirrt.)

13.10.2009, 19:07

stereo

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Exponentenfolge könnte bereits eine gute Wahl sein.

Hier dachte ich, dass das so schon stimmt.

Ich weiß aber nicht ganz wohin ich mit deinem Tip will.

$\begin{eqnarray*} z_n = r^{a_n} e^{ib_n} \end{eqnarray*}$

Es soll gelten: $\begin{eqnarray*} |z_n| = r^{a_n} \rightarrow 1 \quad (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

(i) $\begin{eqnarray*} r<1: \quad a_n \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} r<1: \quad r \rightarrow 1 \quad (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

So das sind die Bedingungen.

Jetzt soll ich in der Teilaufgabe b) mit Folgen rechnen - gleich mehr.

13.10.2009, 19:10

Mathespezialschüler

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Damit meinte ich, dass die Wahl $\begin{eqnarray*} b_n=n \end{eqnarray*}$ sinnvoll ist, du dir aber noch überlegen musst, wie du $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ geeignet wählst.

Entschuldige bitte das Missverständnis.

13.10.2009, 19:17

stereo

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Kein Problem smile

Ah, also ich übernehme das jetzt mit $\begin{eqnarray*} (r_n) \end{eqnarray*}$ .

Die Folge $\begin{eqnarray*} z_n = (1+ \frac 1 n ) e^{in} \end{eqnarray*}$ würde dies dann erfüllen.

Ich soll jetzt folgende Folgen untersuchen:

(1) $\begin{eqnarray*} a_n = \frac { 1 } { z_n} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} a_n = \frac { 1 } { z_n^2} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} a_n = n z_n \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} a_n = \left( \frac i 2 z_n\right)^n \end{eqnarray*}$

13.10.2009, 19:33

stereo

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(1) $\begin{eqnarray*} a_n = \frac {1} {z_n} = \frac {1}{(1+\frac 1 n) e^{in}} = \frac {\cos (-n) + i \sin (-n)}{1+\frac 1 n} \end{eqnarray*}$

Der Nenner geht für n -> oo gegen 1 und der Zähler läuft den Einheitskreis ab.

(2) $\begin{eqnarray*} a_n = \frac {1} {z_n^2} = \frac {1}{(1+\frac 1 n)^2 e^{i2n}} = \frac {\cos (-2n) + i \sin (-2n)}{1+\frac 2 n+\frac {1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

Macht dasselbe wie (1)

(3) $\begin{eqnarray*} a_n=n (1+ \frac 1 n ) e^{in}= (n+1)e^{in} \end{eqnarray*}$

Auch die (3) divergiert. Der Betrag des komplexen Gliedes wird immer größer und der Winkel ändert sich wie bei (1) und (2) stets.

(4) $\begin{eqnarray*} a_n= \left( \frac i 2 \left(1+ \frac 1 n\right) e^{in}\right)^n = \left(1+\frac 1 n \right)^n \cdot e^{in^2} \cdot \frac{i^n}{2^n} \end{eqnarray*}$

Hier muss ich bestimmt gerade und ungerade n unterscheiden, hier arbeite ich noch dran smile

Stimmt dass denn alles soweit?

13.10.2009, 23:31

Mathespezialschüler

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Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so ganz. Erst sollst du so eine Folge finden und dann damit a) bis d) machen? Was für eine Eigenschaft der Folgen sollst du denn untersuchen? (Das hast du noch nicht gesagt.)

14.10.2009, 10:57

stereo

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Ich soll Aussagen über Konvergenz machen.

Die definierte Folge $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ lautet aber so:

$\begin{eqnarray*} z_n = \left(1-\frac 1 n\right) e^{in} \end{eqnarray*}$

14.10.2009, 16:03

Mathespezialschüler

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Ok, was du bis jetzt gesagt hast, stimmt soweit erstmal. Dass $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ als Häufungspunkte wirklich genau $\begin{eqnarray*} \partial D \end{eqnarray*}$ hat, müsste man natürlich auch noch beweisen.

14.10.2009, 17:02

stereo

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Reicht es wenn man sagt, dass für n -> oo der Betrag gegen 1 geht und nur noch der Winkel sich ändert, sprich die komplexen Zahlen wandern auf dem Einheitskreis.
Es sind alles HP, da es abzählbar unendliche komplexe Zahlen gibt.

Aber wiederrum (hatten wir in der Übung): Es werden nicht alle Punkte des Kreises eingenommen, da dieser überabzählbar unendliche komplexe Zahlen enthält.

Wenn das nicht reicht - wie ist die Idee dieses Beweises?

14.10.2009, 17:25

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Tja, Vorsicht: Betrachtet man die verwandten Folgen

$\begin{eqnarray*} z_n = \left(1-\frac 1 n\right) e^{i\lambda n} \end{eqnarray*}$

mit dem positiven reellen Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so kann man nachweisen, dass diese Folge im Fall $\begin{eqnarray*} \lambda = 2\pi \cdot \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ als Häufungspunkte nicht ganz $\begin{eqnarray*} \partial D \end{eqnarray*}$ sondern nur genau $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Punkte auf $\begin{eqnarray*} \partial D \end{eqnarray*}$ hat - wie nicht anders zu erwarten nämlich die Punkte

$\begin{eqnarray*} e^{2\pi i \frac{k}{q}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,q-1 \end{eqnarray*}$ .

Für alle anderen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ - im besonderen also auch dein $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ - stimmt die Aussage mit ganz $\begin{eqnarray*} \partial D \end{eqnarray*}$ , aber das ist wie MSS schon sagte, noch nachzuweisen. Augenzwinkern

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